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Hey:)

Gegeben ist die komplexe Zahl 5+5i. Nun wird von uns verlangt, dass wir 5 verschiedene Lösungen angeben, also w^5

Ich gehe mal davon aus, dass das Potenzieren damit gemeint ist. Folgende Formel ist mir zwar bekannt, aber ich kann sie nicht richtig anwenden:(

r*e^iphi

Nun soll folgendes angegeben werden:

W0

W1

W2

W3

W4

Aber wie ??

von

Lautet die Gleichung 

w^{5} = 5 + 5i   ?

Oder: Welche Gleichung soll gelöst werden? 

Unsere Dozentin hat es leider nicht genauso hingeschrieben, aber ich gehe davon aus. Wenn da 5 verschiedene Lösungen rauskommen, dann ist es das... Unsere Dozentin schreibt und sagt leider nie, was genau sie von uns erwartet. Man soll es sich quasi selber denken -.-

Dann solltet du aber theoretisch so etwas wie hier https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen in deinen Unterlagen finden. 

w^5 = 5 + 5i

hat tatsächlich 5 Lösungen in der komplexen Zahlenebene. 

1 Antwort

+2 Daumen

Hallo,

Hier eine allgemeine Anleitung:    ( die Lösungsvariable ist z statt w und w = 5 + 5i ) 

Lösung der komplexen Gleichung  zn = w   [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]
w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · ei ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )                                       [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].
Den Betrag  |w| = r  und das Argument φw  kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:
r = √(a2 +b2)  und  φw = arccos(a/r) wenn b≥0  [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .
Die n Werte zk  für z = n√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1
aus der Formel    zk = n√r · [ (cos( (φw + k · 2π) / n ) + i · sin( (φw + k · 2π) / n ) ]
[ Die Eulersche Form ist  jeweils  zkn√r · ei·(φw + k·2π)/n ]

Rechnerkontrolllösungen deiner Gleichung  w5  =  5 + 5 i
(die w-Terme sind nicht nummeriert, weil mein Rechner die Lösungen nicht in der Reihenfolge angibt, in der man sie gemäß Anleitung errechnet.) 


w  ≈  0.6713419184 - 1.317582701·i     ∨     w  ≈  -1.317582701 + 0.6713419184·i

∨    w  ≈  1.460551676 + 0.2313286598·i     ∨    w  ≈  -1.045639552 - 1.045639552·i

∨    w  ≈   0.2313286598 + 1.460551676·i  

Gruß Wolfgang 

von 79 k

@Mathelounge

beim Verwenden älterer Textbausteine ist die neue Schwachstelle beim Kopieren von Potenzen und Indices in besonderer Weise unsagbar lästig!

Ich verstehe das Ganze irgendwie nicht... :'((((

Keine Sorge, im nächsten Jahr klappt es ;)

Wo liegt denn genau das Problem ?

> Wo liegt denn genau das Problem ?

Beim Einfügen eines aus dem alten Editor abgespeicherten Textbausteins oder eines Teilstrings der gerade bearbeiteten Antwort erscheinen alle  Exponenten und Indices nicht mehr als solche und müssen nachkorrigiert werden.

Im Übrigen erfolgt bei jedem Pasten beim normalen Antworten im Editor ein Zeilenvorschub.

Auch das Fehlen der Funktion "Unterstreichen" empfinde ich als lästig.

Ich frage mich, ob die Neuerungen im Editor tatsächlich so oft genutzt werden, das sie diese Verschlechterungen rechtfertigen. 

@Wolfgang: Hast du Cache / History usw. mal geleert? Zeilenvorschübe sollten nun nicht mehr vorkommen. Vgl. hier:

https://www.mathelounge.de/501228/update-der-mathelounge-und-neuer-mathelounge-editor 

Wenn du weiterhin Probleme hast, melde das am besten über "Kontakt" oder als Kommentar im obigen Link. Weitere kritische Stimmen dort sind bestimmt nicht fehl am Platz.

Ergänzen möchte ich, dass sämtliche Formatierungen (nicht nur Exponenten sondern auch "kursiv") wieder nachkorrigiert werden müssen. 

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