Darstellende Matrix bestimmen von f und g

Question

Gegeben sind die Unterräume V_k:={p∈C[x]|grad(p)≤k} für k ∈ N mit Basis B_k:={1,x,x²,...,x^k}. Wir definieren grad (0C[x]) :=−∞<0.

Seien f: V₃→V₂ und g: V₃→V₃ die Abbildungen, die∑(von k=0 bis3)=z_kx^k auf ∑(k=1 bis 3)=kz_kx^(k−1)abbilden.

Ich soll die  darstellende Matrix von f bezüglich der Basen B₃ und B₂ und von gog bezüglich der Basis B₃ bestimmen.

Es ist

f(1)=0, f(x)=1, f(x²)=2x, f(x³)=3x²

^{Also ist die darstellende Matrix von f (0 0 0}

                                                                  ^{1 0 0}

                                                                  ^{0 2 0}

                                                                  ^{0 0 3)}

^{und die darstellende Matrix von g ist die Einheitsmatrix.}

^{Stimmt das so?}

^{Kopie aus Kommentar:}

<sup>Oh mir ist gerade aufgefallen dass ich die Matrix f falsch aufgeschrieben habe. Sie muss lauten:

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3

Oder?</sup>

Comments

Oh mir ist gerade aufgefallen dass ich die Matrix f falsch aufgeschrieben habe. Sie muss lauten:

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3

Oder?

Answer 1

Ich habe deinen Kommentar oben eingefügt.

darstellende Matrix von f bezüglich der Basen B3 und B2. Bezüglich B2 hast du das oben schon. Bezüglich B3 müsste sie wohl so aussehen: 

0 1 0 0 

0 0 2 0

0 0 0 3

0 0 0 0

Sofern das f: V_3→V_2 nicht widerspricht (?)  .

Dann zu gog 

g(1)=0, g(x)=1, g(x^2)=2x, g(x^3)=3x^2

gog(1)=0, gog(x)=0, gog(x^2)=2, gog(x^3)=6x

Da komme ich zu einer darstellenden Matrix (bez. B3):

0 0 2 0

0 0 0 6

0 0 0 0

0 0 0 0

ohne Gewähr! 

Comments

Ich finde es so auch richtig. Mach doch eine Antwort daraus.

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Super danke für eure Hilfe.

Jetzt habe ich nochmal eine Frage. Wenn ich die Funktion g darstellen möchte, lautet sie dann

g(∑(von k=0 bis 3)=z_kx^k )=∑(von k=0 bis 3)=z_kx^k

oder

g(∑(von k=0 bis 3)=z_kx^k )=∑(von k=1 bis 3)=kz_kx^k-1

weil ich ja eine Abbildung von V3 nach V3 stehe ich da irgendwie auf dem Schlauch

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Das müsste eigentlich so aussehen

g(∑(von k=0 bis 3) (z_(k)x^{k} )=∑(von k=1 bis 3) (kz_(k)x^{k-1} )

0 x^3 ergibt sich automatisch. 

gog(∑(von k=0 bis 3)=z_(k)x^{k} )=∑(von k=2 bis 3) (k(k-1)z_(k)x^{k-2}) 

hier ergibt sich 0 x^2 und 0 x^3 automatisch. 

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Okay also gibt es formal keinen Unterschied zwischen der Abbildung g und der Abbildung f oder?

Und es macht dann nichts aus, dass f von V3--> V2 und g von V3--> V3 abgebildet wird.

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In V_(2) musst du einfach 0x^3 nicht noch extra erwähnen.