Basis von komplexen Polynomen

Question

Ich habe ℂ als Vektorraum über ℝ. Nun soll ich zeigen, dass B={1 ,i, x ,ix} eine Basis des Unterraums V={p∈C[x]|grad(p)≤1} ist.

Außerdem soll ich alle Basen der reellen Unterräume V_k={p∈C[x]|grad(p)≤k} finden.

Zur ersten Frage habe ich mir gedacht, dass ich V auch darstellen kann als V=z₀+z₁x schreiben mit z ∈ℂ.

Ich sehe jetzt ja dass B eine Basis ist aber wie schreibt man das auf?

Und wie bestimme ich alle Basen der reellen Unterräume?

Answer 1

Zur ersten Frage habe ich mir gedacht, dass ich die Elemente p von V

auch darstellen kann als p=z0+z1x mit z0,z1 ∈ℂ.    Sei also p ∈ V.

Dann gibt es a0 und b0 und a1 und b2 aus ℝ  mit zo=ao+bo*i  und z1=a1+b1*i ,

also p = ao+bo*i  + (a1+b1*i) * x   = ao+bo*i  + a1*x+b1*ix , also 

lässt sich jedes p aus V als Linearkombination von 1 ,i, x ,ix mit 

Koeffizienten aus ℝ schreiben und {1 ,i, x ,ix } ist demnach ein Erzeugendensystem

für V.  

Außerdem gilt für ao+bo*i  + a1*x+b1*ix = 0  mit der Bezeichnungen von oben 

z0+z1x = 0  woraus zo=0 und z1=0  folgt was wiederum ao=bo=a1=b1=0

zur Folge hat, also sind die 1 ,i, x ,ix auch lin. unabhängig und damit eine Basis für V.

Bei V_k dann wohl so 

B = { 1 ,i, x ,ix , x² , ix² , x³, ix³ ,...   x^k , ix^k }