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Zu beweisen: ist der lineare Anteil einer affinen Transformation Vielfaches der Identität, so ist sie Translation oder Streckung.

Für folgende Idee ist α die affine Abbildung α:A -> A' , τ die Translation als Gruppenhomomorphismus der additativen Gruppe des Vektorraums X in die symmetrische Gruppe der Menge A. Der lineare Anteil ist die Abbildung φ ∈ HomK(X,X') des Translationsraumes.

Meine Idee zum Beweis wäre es gewesen, die Existenz und Wohldefiniertheit der Affinität $$ x,t \in A , x-t \in X , ~~ \alpha := \tau_P \circ ( c \cdot id_X) \circ \tau_{-P} ,~~\alpha(x) = f(x-t) + \alpha(t) $$ als Streckung nachzuweisen und selbiges mit der Translation als affine Abbildung zu machen. Danach sollte trivial folgen, dass beide Affinitäten die einzigen Möglichkeiten sind, den linearen Anteil der affinen Abbildung als Vielfaches der Identität darzustellen.

Ich bin mir aber nicht sicher, ob diese Beweisidee zum richtigen Weg führt.


Kalidhor

von

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