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Gegeben sie die Ebene E: OX 

1
2

+ λ 

-5
1
3

+ μ 

2
-1
-2

   


Also irgendwie konnte ich die Matrix nicht korrekt eintippen. Hoffe Ihr könnt es auch so erkennen. 

Man zeige, dass die Punkte 

a) B= ( 10/-1/-1)

b) C= ( -1/3/8)

c) D=( 1/2/6)

d) F= ( 16/ 2,5/ -5)


auf der Ebene liegen

Gefragt von

1 Antwort

+1 Punkt

Hi,

zur a):

Schaue, ob Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) existieren, sodass

$$\begin{pmatrix} 10 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}+ \lambda \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}$$

gilt.

Erste Gleichung: \(10=1-5 \cdot \lambda + 2 \cdot \mu \ \Rightarrow \ \mu = \frac{9+5 \cdot \lambda}{2}\)

Zweite Gleichung: \(-1=2+\lambda - \mu \ \Rightarrow \ \mu = -3- \lambda\) 

Nun muss das \(\mu\), das wir in den Gleichungen erhalten haben, ja das gleich sein. Somit muss also

\(\frac{9+5 \cdot \lambda}{2} = -3 - \lambda\)

gelten. Lösen wir nach \(\lambda\) auf, so erhalten wir \(\lambda = -\frac{15}{7}\), woraus \(\mu = - \frac{6}{7}\) folgt.

Dritte Gleichung: \(-1=6+ 3 \cdot \lambda - 2 \cdot \mu = 6 + 3 \cdot (- \frac{15}{7})-2 \cdot (-\frac{6}{7})= \frac{9}{7}\)

Hier steht, dass \(-1=\frac{9}{7}\) ist. Da das offensichtlich falsch ist, liegt der Punkt \((10,-1,-1)^T\) nicht in der Ebene.


Gehe bei den anderen genauso vor. Falls die Gleichung, die du am Ende erhältst (in unserem Fall \(-1=\frac{9}{7}\) ), korrekt ist, so liegt der Punkt drauf. Wenn nicht, dann nicht.

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Dankeee :). Vielen Lieben Dank für deine Hilfe! 

Laut Ergebnis muss für λ=−1 und μ=2  herauskommen. Ich weiß aber nicht warum :( 

Bitteschön :)

Sorry, habe die zweite Gleichung falsch aufgelöst. Hier erhält man \(\mu=3+\lambda\).

Versuche es nun mal selbst. Die Vorgehensweise stimmt ja trotzdem :)

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