Kleinste induktive Menge

Question

ich habe folgende Frage zu den natürlichen Zahlen. Wie kommt man darauf, dass der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von ℝ als Menge der natürlichen Zahlen definiert ist und noch dazu die kleinste induktive Menge?

Gruß

hallo97

Answer 1

dass der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von ℝ als Menge der natürlichen Zahlen definiert ist

Tatsaechlich ist es genau andersrum: Die Menge der natuerlichen Zahlen ist als Schnittmenge aller induktiven Teilmengen der reellen Zahlen definiert. Das macht man so, wenn man ein Axiomensystem für die reellen Zahlen an den Anfang stellt. Die natuerlichen Zahlen sind dann ja schon mit dabei, man muss sie nicht mehr separat begruenden, sondern nur noch aus den reellen aussondern. Eben genau so. Nebenbei hat diese Methode noch den Vorteil, dass man das Induktionsprinzip nicht als Axiom postulieren muss. Es gilt per Definition der natuerlichen Zahlen.

Comments

Schonmal Danke für die schnelle Antwort. 

Aber was sind denn zum Beispiel induktive Teilmengen der reellen Zahlen?Ok die reellen Zahlen. Wären dann auch die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen auch Beispiele für induktive Teilmengen der reellen Zahlen?

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ℤ und ℚ sind induktive Mengen. ℝ \ ℚ ist keine, es fehlt ja 0. Allerdings sind ℤ und ℚ an dieser Stelle noch gar nicht offiziell bekannt. Die wollen ebenfalls erst noch aus ℝ ausgesondert werden. Da Du aber schon Vorstellungen von diesen Zahlenmengen mitbringst, kannst Du sie natuerlich schon mal als Beispiele nehmen.