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Bitte helfen Sie mir mit dieser Aufgabe.

Es seien x, y, z ∈ Rn. Zeigen Sie:

(a) Es gilt ΙΙxΙΙ − ΙΙyΙΙ ≤ ΙΙx − yΙΙ

(b) Es gilt ΙΙxΙΙ= ΙΙyΙΙ genau dann, wenn x − y und x + y aufeinander senkrecht stehen.
(c) Sind x und y ungleich 0, dann gilt

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(d) Es gilt ΙΙx − yΙΙ * ΙΙzΙΙ ≤ ΙΙy-zΙΙ*ΙΙxΙΙ + ΙΙz-xΙΙ*ΙΙyΙΙ

.

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(a)  x=(xy)+yxy+y\Vert x\Vert=\Vert(x-y)+y\Vert\le\Vert x-y\Vert+\Vert y\Vert.

1 Antwort

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Hi,

a)

siehe Kommentar von nn.

b)

xyx-y und x+yx+y stehen auf einander senkrecht genau dann, wenn <xy,x+y>=0<x-y,x+y>=0.

Bedenke, dass <x,x>0<x,x> \ge 0 für alle xRx \in \mathbb{R}.

d)

Es gilt: xy=yz+zx\vert \vert x-y \vert \vert = \vert \vert y - z + z - x \vert \vert

Nun verwende die Dreiecksungleichung.

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zu d)

wie genau soll man da vorgehen? Mit dem Hinweis kann ich leider nichts anfangen. Das z kann ich ja nicht einfach aus der Norm ziehen, da es sich ja dort schon aufhebt.

Hi, da war ich etwas zu voreilig. Man kann die Ungleichung umformen zu:

xyyxyzyz+zxzx \frac{|x-y|}{|y| \cdot |x|} \le \frac{|y-z|}{|y| \cdot |z|} + \frac{|z-x|}{|z| \cdot |x|}

Nun verwendet man Teil c) und erhält:

xx2yy2yy2zz2+zz2xx2| \frac{|x|}{|x|^2} - \frac{|y|}{|y|^2}| \le | \frac{|y|}{|y|^2} - \frac{|z|}{|z|^2}| + | \frac{|z|}{|z|^2}-\frac{|x|}{|x|^2} |

Nun schlau eine Null in der linken Seite addieren und die Dreiecksungleichung anwenden :)

Das z ist auf der linken Seite verloren gegangen. Oder soll man dies mit der Δ-Ungleichung rüberholen?

Mit z konstruierst du dir eine 0 und wendest dann die Dreiecksungleichung an.

Ein anderes Problem?

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