Bitte helfen Sie mir mit dieser Aufgabe.
Es seien x, y, z ∈ Rn. Zeigen Sie:
(a) Es gilt ΙΙxΙΙ − ΙΙyΙΙ ≤ ΙΙx − yΙΙ
(b) Es gilt ΙΙxΙΙ= ΙΙyΙΙ genau dann, wenn x − y und x + y aufeinander senkrecht stehen.(c) Sind x und y ungleich 0, dann gilt
(d) Es gilt ΙΙx − yΙΙ * ΙΙzΙΙ ≤ ΙΙy-zΙΙ*ΙΙxΙΙ + ΙΙz-xΙΙ*ΙΙyΙΙ
.
(a) ∥x∥=∥(x−y)+y∥≤∥x−y∥+∥y∥\Vert x\Vert=\Vert(x-y)+y\Vert\le\Vert x-y\Vert+\Vert y\Vert∥x∥=∥(x−y)+y∥≤∥x−y∥+∥y∥.
Hi,
a)
siehe Kommentar von nn.
b)
x−yx-yx−y und x+yx+yx+y stehen auf einander senkrecht genau dann, wenn <x−y,x+y>=0<x-y,x+y>=0<x−y,x+y>=0.
Bedenke, dass <x,x>≥0<x,x> \ge 0<x,x>≥0 für alle x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R.
d)
Es gilt: ∣∣x−y∣∣=∣∣y−z+z−x∣∣\vert \vert x-y \vert \vert = \vert \vert y - z + z - x \vert \vert∣∣x−y∣∣=∣∣y−z+z−x∣∣
Nun verwende die Dreiecksungleichung.
zu d)
wie genau soll man da vorgehen? Mit dem Hinweis kann ich leider nichts anfangen. Das z kann ich ja nicht einfach aus der Norm ziehen, da es sich ja dort schon aufhebt.
Hi, da war ich etwas zu voreilig. Man kann die Ungleichung umformen zu:
∣x−y∣∣y∣⋅∣x∣≤∣y−z∣∣y∣⋅∣z∣+∣z−x∣∣z∣⋅∣x∣ \frac{|x-y|}{|y| \cdot |x|} \le \frac{|y-z|}{|y| \cdot |z|} + \frac{|z-x|}{|z| \cdot |x|} ∣y∣⋅∣x∣∣x−y∣≤∣y∣⋅∣z∣∣y−z∣+∣z∣⋅∣x∣∣z−x∣
Nun verwendet man Teil c) und erhält:
∣∣x∣∣x∣2−∣y∣∣y∣2∣≤∣∣y∣∣y∣2−∣z∣∣z∣2∣+∣∣z∣∣z∣2−∣x∣∣x∣2∣| \frac{|x|}{|x|^2} - \frac{|y|}{|y|^2}| \le | \frac{|y|}{|y|^2} - \frac{|z|}{|z|^2}| + | \frac{|z|}{|z|^2}-\frac{|x|}{|x|^2} | ∣∣x∣2∣x∣−∣y∣2∣y∣∣≤∣∣y∣2∣y∣−∣z∣2∣z∣∣+∣∣z∣2∣z∣−∣x∣2∣x∣∣
Nun schlau eine Null in der linken Seite addieren und die Dreiecksungleichung anwenden :)
Das z ist auf der linken Seite verloren gegangen. Oder soll man dies mit der Δ-Ungleichung rüberholen?
Mit z konstruierst du dir eine 0 und wendest dann die Dreiecksungleichung an.
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