Vollständigen Induktion: Summenformel ungerade Quadratzahlen: 3 * ∑ (k=1 bis n+1) (2k-1)^2 = 4n^3+12n^2+11n+3

Question

3 * ∑ (k=1 bis n+1) (2k-1)^2 = 4n³+12n²+11n+3

könnte mir ein Experte verraten wie diese Vollständige Induktion zu lösen ist, sitze da schon zu lange dran und komme nicht drauf.

Vielen Danke

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion mit Faktor: 3 * ∑ (k=1 bis n+1) (2k-1)^2 = 4n^3+12n^2+11n+3

Stichworte: induktion,summenzeichen,ungerade,quadratzahlen,summe

ich habe da noch Probleme bei folgender Induktionsaufgabe:

3 * ∑ (k=1 bis n+1) (2k-1)^2 = 4n^3+12n^2+11n+3

Ich hoffe einer kann mir dabei helfen.

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EDIT: Kommentare in Antworten umgewandelt. So kannst du einzeln reagieren, falls du deine Rechnung noch zeigen willst. 

Answer 1

Ist das die eigentliche Aufgabe oder schon der Induktionsschritt ?

Beweise sonst eventuell

∑ (k = 1 bis n) ((2·k - 1)^2) = 1/3·n·(2·n + 1)·(2·n - 1)

Das ist der Klassiker

∑ (k = 1 bis n) ((2·k - 1)^2) = 1/3·(4·n^3 - n)

Wenn du das machst dann fällt deine Formel dann eigentlich von selbst ab, wenn du dann einfach nur für n, n+1 einsetzt und das mit 3 multiplizierst.

Comments

also beachte ich die 3 in den nachfolgenden Schritten nicht?

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Ich verstehe nicht wie du das meinst. Wie lautet zunächst deine Genaue Aufgabe? Hast du mal überlegt, wie du die von mir gestellte Aufgabe lösen kannst?

Answer 2

Tipp:

$$ 4n^3+12n^2+11n+3=(2n+1)(2n+3)(n+1) $$

Answer 3

Wohl eher so:

3 * ∑ (k=1 bis n+1) über (2k-1)² = 4n³+12n²+11n+3

für n=0 nur 1 Summand      3 * (2*0-1)^2 = 4*0+12*0+11*0+3   Passt!.

Sei es gültig für ein n, dann gilt 

3 * ∑ (k=1 bis n+1) über (2k-1)^2 = 4n^3+12n2+11n+3

<=>   ∑ (k=1 bis n+1) über (2k-1)^2 = 4/3n^3+4n^2+11/3^n+1

also gilt auch (Jetzt muss man es ja für n+1 zeigen):

3 * ∑ (k=1 bis (n+1)+1) über (2k-1)^2 =

3*( ∑ (k=1 bis n+1 über   (2k-1)^2    +  (n+2)-ter Summand ) =

3*( ∑ (k=1 bis n+1 über   (2k-1)^2    +  (2*(n+2) - 1 )^2   

dann Ind.annahme einsetzen

= 3 * (   4/3n^3+4n^2+11/3*n+1   +  (2n+3)^2  )  

= 3 * (   4/3n^3+4n^2+11/3*n+1  + 4n^2 + 12n + 9  )  

=   4n^3+12n^2  +11n  +3     + 12n^2 + 36n + 27 

= 4n^3+24n^2  +47n  +30 

Und nun prüfen, ob dies das gleiche ist wie :

4(n+1)^3+12(n+1)^2+11(n+1)+3..

Klammern auflösen zeigt: Das passt auch !

Comments

Hier wurde der Induktionsanfang mit n=0 gemacht, muss der aber nicht n=1 sein, so wie es in der unteren Grenze der Summe ist?

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Es schadet nicht, wenn die Formel für n=0 gilt. Du darfst aber auch schauen, ob sie für n=1 gilt. Insbesondere, wenn die natürlichen Zahlen bei euch die 0 gar nicht enthalten. 

Unter der Summe steht k=1. | n kommt nicht vor

Darüber n+1.   | für n=0 ist n+1 = 1. 

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Verstehe ich das richtig: Wenn die untere Grenze k=0 ist ist die obere Grenze n?

Da wir ja ursprünglich k=1 hatten und n+1. Damit habe ich ein Problem

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mathef hat es ja mit den ursprüunglichen Grenzen gerechnet. 

Das solltest du auch so machen. 

Der von mir verlinkte Beweis macht es von k=0 bis n und rechnet dafür (2k+1)^2 , während bei euch (2k-1)^2 gerechnet wird. Beides ergibt einfach die Summe der Quadrate der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen. 

Also 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + .... + (2n+1)^2 

oder 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + .... + (2(n+1)-1)^2

Answer 4

Diese Frage wurde hier schon besprochen. 

https://www.mathelounge.de/504926/vollstandige-induktion-mit-faktor-1-bis-n-1-2k-1-2-4n-3-12n-2-11n 

Du kannst die ganze Gleichung einfach durch 3 teilen und dann diese Formel beweisen. 

Falls das zu schwierig ist: Zeige mal deine bisherigen Rechnungen. Mindestens eine Verankerung hast du vermutlich schon. 

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https://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Summenformel_über_ungerade_Quadratzahlen

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