Funktionenschar Wendepunkte bestimmen

Question

f_n (x) = xⁿ *  e^-x

f '  _n (x) = e^-x (nx^n-1 - xⁿ )

f '  '   _n (x) = -e^-x (  -2 nx^n-1 + xⁿ +    (n-1)* n* x^n-2)

 

nun will ich wissen wann ist

 

-2 nx^n-1 + xⁿ +    (n-1)* n* x^n-2      = 0

 

Danke für eure Hilfe

Answer 1

Klammere x^n-2 aus.

x^n-2 (-2nx + x² + n²-n) = 0

Somit ist x=0 schonmal wieder eine mögliche Lösung.

 

x²-2nx+(n²-n) = 0    |pq-Formel

x_1,2 = - (-2n)/2 ± √((2n/2)² - (n²-n)) =n ± √(n)

 

x₁ = n-√(n)

x₂ = n+√(n)

 

 Du wirst feststellen, dass für x=0 keine Wendepunkt vorliegt. Die anderen gefundenen Stellen sind aber Wendestellen. Um die zugehörigen y-Werte zu finden -> in f(x) setzen.

(Dass x=0 keine Wendestelle ist, kann man mit dem Vorzeichenkriterium zeigen)

Es ist wieder n>1.

 

Grüße

Comments

ein genialer Schachzug , man  muss einfach sehen das die potenzen eine reihe bilden und dann einfach nur abc formel ........


Hab durch probieren mit n = 1  n = 2  n = 3   die gesetzmäßigkeit n +- √n    gefunden ........

aber du machst das aus dem handgelenk heraus :D

Danke

---

Das kommt mit der Erfahrung. Mit Probieren drauf zu kommen ist dazu der erste Schritt in die richtige Richtung :).


Gerne

Answer 2

f(x) = x^n·e^{-x}

f'(x) = e^{-x}·x^{n - 1}·(n - x)

f''(x) = e^{-x}·x^{n - 2}·(x^2 - 2·n·x + n^2 - n)

Wendepunkte f''(x) = 0

e^{-x}·x^{n - 2}·(x^2 - 2·n·x + n^2 - n)

Potenzen sind nie Null solange die Basis nicht null ist.

x^2 - 2·n·x + n^2 - n = 0
x = n ± √n

f(n + √n) = (n + √n)^n·e^{-(n + √n)}
f(n - √n) = (n - √n)^n·e^{-(n - √n)}