Bedingte Wahrscheinlichkeit krankheit

Question

die Aufgabe lautet:

Für eine Krankheit, an der jeder 1000. Patient der untersuchten Gruppe leidet, gibt es 

einen recht zuverlässigen Test. Dieser Test liefert bei einem Betroffenen nur in 1% der
Fälle ein negatives und bei einem nicht Betroffenen nur in 1% der Fälle ein positives
Ergebnis.
(i) Geben Sie die genannte Zuverlässigkeit als bedingte Wahrscheinlichkeiten in den
Ereignissen krank, gesund“, ”Test positiv“ und Test negativ“ an.

Meine Ergebnisse:

P(Test positiv| Patient krank) =99%

P(Test negativ | Patient krank) = 99%

P(Test positiv | Patient gesund) = 1% 

P(Test positiv | Patient gesund) = 1%

(ii) Berechnen Sie mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass bei einem zufällig herausgegriffenen Kandidaten der Test positiv
ausfällt.
Da weiß ich leider nicht weiter und hoffe auf Hilfestellungen:)

Comments

P(Test positiv| Patient krank) =99%

P(Test negativ | Patient krank) = 99%

P(Test positiv | Patient gesund) = 1%

P(Test positiv | Patient gesund) = 1%

Das würde bedeuten, dass der Test mit grösster Wahrscheinlichkeit gar nichts mit der Krankheit zu tun hat. Kann das gemäss den Angaben denn sein?

Zudem: 

Ist  "positiv" so gewollt? 

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Danke für den Hinweis!

Es sollte natürlich heißen:

P(Test positiv| Pateint krank) = 99%

P(Test positiv | Patient gesund) = 1%

P(Test positiv | Patient gesund ) = 1%

P( Test negativ | Patient gesund) = 99%

Answer 1

Für eine Krankheit, an der jeder 1000. Patient der untersuchten Gruppe leidet, gibt es einen recht zuverlässigen Test. Dieser Test liefert bei einem Betroffenen nur in 1% der Fälle ein negatives und bei einem nicht Betroffenen nur in 1% der Fälle ein positives Ergebnis.

Hier mal wie ich es machen würde: 

P(Negativ | Krank) = 0.01

P(Positiv | Krank) = 0.99

P(Positiv | Gesund) = 0.01

P(Negativ | Gesund) = 0.99

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

P(Positiv) = P(Krank) * P(Positiv | Krank) + P(Gesund) * P(Positiv | Gesund)

Comments

Danke vielmals für deine Antwort. Wie komme ich auf die Wahrscheinlichkeiten P(krank) und P(gesund)?

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Aufmerksam lesen

"Für eine Krankheit, an der jeder 1000. Patient der untersuchten Gruppe leidet ..."

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Also P(krank) = 0.10

und P(gesund) = 1-P(krank) = 0.90

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Jeder 1000. ist krank bedeutet von 1000 Leuten ist einer krank.

0.1 = 10% oder 10 von Hundert oder 1 von Zehn.

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Verzeihung, eine 0 ging mir verloren....

P(krank) = 0.01

P(gesund)= 1-P(gesund) = 0.99

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Hätte noch eine Frage.

Berechnen Sie mittels der Formel von Bayes die Wahrscheinlichkeit dafur, dass ein 
zufällig herausgegriffener Patient, bei dem der Test positiv ausfällt, von der Krankheit
betroffen ist.

Wäre das:

P(positiv|krank) =  (P(krank|positiv)*P(positiv))/ P(krank)

=(0.99*0.99)/0.01 =98.01%

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Nö

P(Krank | Positiv) = P(Krank und Positiv) / P(Positiv)

P(Krank | Positiv) = P(Krank) * P(Positiv | Krank) / (P(Krank) * P(Positiv | Krank) + P(Gesund) * P(Positiv | Gesund))

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Wieso muss ich krank und positiv vertauschen?

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Berechnen Sie mittels der Formel von Bayes die Wahrscheinlichkeit dafur, dass ein 
zufällig herausgegriffener Patient, bei dem der Test positiv ausfällt, von der Krankheit
betroffen ist.

was weißt du? das der test positiv war oder das die person krank war

und welche wahrscheinlichkeit willst du wissen? die wahrscheinlichkeit das der test positiv ist oder die wahrscheinlichkeit das die person krank ist?

und wie schreibt man das dann auf?

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Wieso bestimmst du P(Krank | Positiv) auf zwei unterschiedliche Weisen?

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Das ist eigentlich nur eine Berechnung. nur einmal mit dem Satz von Bayes und der Totalen Wahrscheinlichkeit notiert.

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Also ergibt sich nach der Formel von Bayes:

P(Krank | Positiv) = P(Krank und Positiv) / P(Positiv) = 0.99/0.99 =1

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P(Krank und Positiv)

Wenn P(krank) = 1/1000 ist dann kann P(krank und positiv) auf keinen fall größer sein als 0.01

Kannst du mal eine 4-Felder-Tafel notieren

	Krank	Gesund	Gesamt
Negativ	P(K und N) = .....	P(G und N) = .....	P(N) = .....
Positiv	P(K und P) = .....	P(G und P) = .....	P(P) = .....
Gesamt	P(K) = .....	P(G) = .....	P(Ω) = .....

Und dann auch die Bedingten Wahrscheinlichkeiten aufschreiben

P(N | K) ; P(P | K) ; P(N | G) ; P(P | G)

P(K | N) ; P(G | N) ; P(K | P) ; P(G | P)