Es existiert ein Endomorphismus f von R 3 so, dass f(vi) = wi mit i = 1, 2, 3 gilt? Wenn ja, geben sie Standardbasen an.

Question

leider finde ich zu der Aufgabe keinen richtigen Ansatz.

Für Hilfe wäre ich daher sehr dankbar!!!

Answer 1

Hallo Leo, schreib einfach die Matrix C auf, die die Basisvektoren enthält:
(1 0 -1)
(1 1  1)
( 0 1 0)
Dann die Matrix D mit dem Abbild der Basisvektoren:
(1 3 8)
(2 2 4)
(3 1 0)

Dann ist die Abbildungsmatrix A = D * C^-1 =
(-3,5 4,5 -1,5)
(-1    3      -1 )
(1,5  1,5  -0,5)

Das kannst du dir im ℝ² an einem Mini-Beispiel klarmachen.

Comments

Hallo Leo, hier die Lösungen für (b) und (c):
(b)  Eine Möglichkeit ist
$$ A = \begin{pmatrix} -7 & 8 & -5 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix} $$.
(c)  Das ist kein Endomorphismus.

Lösungsweg siehe Bilder.