Koeffizientenvergleich mit allgemeiner Funktion

Question

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe zur BIldung einer Stammfunktion mit dem Formansatz mittels Koeffizientenvergleich.

f(x) = (dx + e)e^cx

als Stammfunktionsansatz hab ich F(x)=(ax + b)e^cx genommen. Diese abgeleitet wäre ja (cax + a + cb)e^cx

Daher müsste gelten c*a = d --> a = d/c

folglich d/c + cb = e

Wenn ich letzteres nach b umstelle, erhalte ich b = (e-d/c)/c  = e/c - d/c²

Beim einsetzen dieser beiden Zahlenwerte in meine Stammfunktion ((d/c + (e/c - d/c² )e^cx) komme ich bei der Probe aber nicht auf meine Funktion f(x). Wo liegt bei mir der Fehler?

Comments

Mit deiner Funktion komme ich nicht
klar.
f(x) = (dx + e) * e ^{cx}
ist e die Eulersche Zahl ?
Oder gibt es 2 verschieden e´s ?

Bei dir wimmelt es nur so von a,b,c,d,e,.
Gib doch bitte einmal die Funktion
eindeutig an.

---

sorry, mit dem e in der Klammer ist eine Variable gemeint. Außerhalb die eulersche zahl. Hab mir einfach die nächstbesten gesucht, nachdem a und b bereits vergeben waren.

Answer 1

betrachte die Funktion:

$$ f(x)=(ax+b)e^{cx} $$

Der Ansatz für die Stammfunktion lautet:

$$ F(x)=(Ax^2+Bx+C)e^{cx} $$

ABleiten ergibt

$$ F'(x)=(2Ax+B)e^{cx}+c(Ax^2+Bx+C)e^{cx}=(cAx^2+(2A+cB)x+(B+cC))e^{cx} $$

Damit ergibt sich die Gleichung und folgender Koeffizienenvergleich:

$$ (ax+b)e^{cx}=(cAx^2+(2A+cB)x+(B+cC))e^{cx}\\ (ax+b)=(cAx^2+(2A+cB)x+(B+cC))\\A=0\\a=2A+cB=cB\\b=B+cC\\\to B=\frac{a}{c}\\\to b=a/c+cC\to C=\frac{b}{c}-\frac{a}{c^2}$$

Eine Stammfunktion lautet somit:

$$(Bx+C)e^{cx}=(\frac{ax}{c}+\frac{b}{c}-\frac{a}{c^2})e^{cx}$$

(Diese Rechnung gilt nur für c≠0)

Comments

Sauber, danke dir. Dann geht das mit der Rechnung auch gut auf. Nur wieso ist hier die stammfunktion um einen Grad höher? 

Kannte es bisher so, dass bei einem x auch ein x und kein x^2 in der Ableitung steht (nur bei e^... (....))

Oder geht es dabei um das zusätzliche C?

---

Da man auf A=0 kommt, zeigt, dass ich dem Ansatz eine Potenz zu hoch gewählt habe ;)

Es hätte also auch als Ansatz F(x)=(Bx+C)e^{cx} gereicht.

Ich geh meistens sicherheitshalber einen Grad höher um keinen Fehler im Ansatz zu machen.