Sind v1, . . . , vn linear abhängig, dann gibt es einen Index k mit vk ∈ Lin(v1, . . . , vk−1, vk+1, . . . , vn)

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe.

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und seien v₁, . . . , v_n ∈ V .

(b) Beweisen Sie: Sind v1, . . . , vn linear abhängig, dann gibt es einen Index k mit v_k ∈ Lin(v₁, . . . , v_k−1, v_k+1, . . . , v_n).
(c) Geben Sie drei verschiedene Vektoren v₁, v₂, v₃ ∈ R³ an, die linear abhängig sind, aber mit v₃ ∉ Lin(v₁, v₂).

Answer 1

Sind v1, . . . , vn linear abhängig,

Dann gibt es eine Linearkombination  des Nullvektors,

a1v1+....+anvn = 0

mit mindestens einem Koeffizienten ak≠0 

Dann gilt  akvk = -a1v1 - ... a_k-1v_k-1 - a_k+1v_k+1 - ... - anvn

und weil ak≠0 kann man dadurch dividieren und hat 

vk = -a1/ak*v1 - ... a_k-1/a_k*v_k-1 - a_k+1/a_k*v_k+1 - ... - an/ak*vn

also  vk ∈ Lin(v1, . . . , vk−1, vk+1, . . . , vn).   q.e.d.

c)  Probiere (1;0,0) , (2;0;0) und (0;0;1) .