Zeigen Sie, dass sich alle Parabeln der Schar an der Stelle x = 0 schneiden

Question

Gegeben ist die Schar der Funktionen p_a mit p_a(x) = ax² +(1+a)x+1 und a ∈ ℝ \{0}. 

Zeigen Sie, dass sich alle Parabeln der Schar an der Stelle x = 0 schneiden.

Answer 1

pa1(x) = a1 * x^2 +(1+a1) * x + 1
pa2(x) = a2 * x^2 +(1+a2) * x + 1

a1 * x^2 +(1+a1) * x + 1 = a2 * x^2 +(1+a2) * x + 1
a1 * x^2 +(1+a1) * x = a2 * x^2 +(1+a2) * x
x * ( a1 * x +(1+a1)) = x * ( a2 * x +(1+a2) )

x = 0
( Wenn man will kann man hier schon aufhören.
Der Nachweis ist erbracht.

a1 * x +(1+a1) = a2 * x +(1+a2)
a1 * x +1 +a1 = a2 * x +1+a2
a1 * x +a1 = a2 * x +a2
a1 * ( x + 1 ) = a2 * ( x + 1 )
x + 1 = 0
x = -1

Alle Scharfunktionen schneiden sich in
x = 0 und x = -1

Hier ein Beispiel

Answer 2

es ist

p_a(0)=1 für alle a∈ℝ

Nun könnte es sich aber auch um einen Berührpunkt handeln.

Um das auszuschließen betrachten wir die erste Ableitung:

p_a'(0)=1+a

Die Ableitung in x=0 ist für verschiedene a stets unterschiedlich, daher schneiden sich die Parabeln dort echt. 

Comments

Die Deutung des Begriffs "schneiden" im Sinne von "kreuzen" finde ich nicht angemessen. Deine Aussage "p_a(0)=1 für alle a∈ℝ" reicht aus, um "schneiden" mengentheoretisch als "haben {(0|1)} als gemeinsame Schnittmenge" zu begründen.

---

Ja, da war ich mir nicht sicher wie  in der Schule "schneiden" definiert ist.

So wie du es sagst ist es üblich.