Sind die 3 Vektoren linear unabhängig?

Question

 

laut der Fragenstellung sollten sie ja linear unabhängig sein...ist auch so laut Lösung, doch wenn ich die Determinante bestimme kommt 0 raus...das bedeutet ja, dass sie linear abhängig sind...?!

Comments

Wenn man es so versucht kommt folgendes raus,,, bedeutet dass, dass wenn der Rang = ANzhal der Zeilen ist, dann ist SIe linear unabhängig?

doch wenn ich daraus die Determinante bestimme würde folgendes raus kommen, oder?

Dann wäre die Determinante doch 0. oder? Also linear abhängig....?!

Answer 1

das Determinantenverfahren kannst du nutzen, um zu überprüfen ob

n Vektoren im |Rⁿ linear unabhängig sind oder nicht (was äquivalent dazu ist,

 ob sie den |Rⁿ aufspannen oder nicht).

Hier hast du ber nur 3 Vektoren im R⁴, daher klappt das nicht (du hast ja oben auch keine quadratische Matrix).

Comments

Achso, dann geht das mit der Determinante nur bei quadratischen Vektoren?!

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Ja,bei qudratischen Matrizen* ;) 

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SUper, dass hat mir sehr geholfen, bzw. mich vor "größeren Fehlern" bewahrt ;)

Danke dafür!

Beste A-Word ;)

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nur das verstehe ich nicht so ganz...

warum dass ein Beweis ist, dass es linear unabhängig ist...?!

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Man untersucht, ob das Gleichungssystem

$$a*v_1+b*v_2+c*v_3=0$$

eine nicht triviale Lösung hat.

In Matrixschreibweise ist das 

$$(v_1|v_2|v_3)*(a,b,c)^T=(0,0,0,0)^T$$

Das ist ein homogenes Gleichungsystem.

Dann wurde mithilfe von Gauß-Verfahren zu der Matrix oben umgeformt.

Ausgeschrieben steht dort folgendes:

a+b+c=0

-b+c=0

-5c=0

0=0

Wenn du von unten nach oben die Variablen auflöst, dann bekommt man a=b=c=0 .

Also sind die Vektoren linear unabhängig. Das ganze kann man auch mit dem Rang begründen, siehe hier:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/…

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ok, danke. Ich verstehe nur leider es noch nicht so ganz mit der trivialen lösung... .

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Die triviale Lösung ist, wenn alle Variablen =0 sind  , also wie bei deinem Beispiel

a=b=c =0 . In diesem Fall sind die Vektoren linear unabhängig gemäß Definition.

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ok, danke für die gedult ;)

Answer 2

Überprüfe, ob man einen der Vektoren als Linearkombination der anderen beiden schreiben kann. (Das ergibt 4 Komponentengleichungenmit nur zwei Unbekannten). Löse zwei davon und setze die Lösungen in die anderen beiden ein. Wenn sich dabei keine Widersprüche ergeben,sind die Vektorenlinear abhängig.

Comments

und wie ist das mit der Determinante, hier willi ch es nömlich mit der Determinate versuchen zu lösen!