Exponentielles Wachstum und Abklingen mit Formel M(t)= Cekt

Question

Bitte bitte brauche Hilfe mit dem Thema : Expotentionelles Wachstum und Abklingen

Ich setze mich gerade mit dem oben genannten Thema auseinander, aber ich verstehe das Ganze nicht.. weiß nur das die Gleichung eine Abhängigkeit darstellt. Einfache Aufgaben mit Bakterien z.b kann ich rechnen..nzr wenn sich da was abweicht wars das.. Habe hier Übungsbeispiele mit denen ich leider nix anfagen kann... und leider auch keine Lösung zu.

Unsere Lehrerin hat uns nur nur eine Formel vorgestellt M(t)= Ce^kt 
Mehr über das Thema haben wir nicht geredet... brauche bitte die Lösungswege, ich hoffe ich kann es darurch irgendwie verstehen, da ich mit dem Internet nicht weiter komme.

Wäre auch sehr nett wenn ihr mir erklären könntet warum man dies und das so macht in den Aufgaben oder gibt es auch andere Arten oder Formeln um es zu lösen? Bin für jede Hilfe sehr dankbar. 

1.Eine Bakterienkultur wächst exponentiell um 30% in 10 Stunden, wie lange braucht sie für 50%?
 
2.Bakterienkoloie wächst expot. Heute um 19 Uhr betrug die Anzahl der Bakterien 10.000 Stück. Sie wächst um 10% in 70 Min. Welche Population war heute um 8:00 gegeben?

3. Im Verlauf des Experiments verminderte sich die Masse eines Isotops durch radioaktiven Zerfall. Nach 10 sec nach Beginn das Experiments waren 10% zerfallen. 

a. Konstente k berechnen mit  M(t)=Ce^kt
b. Zu welchem Zeitpunkt ist nur noch 1/10 der zu Beginn vorhandenen Masse übrig?
c. Halbwertszeit des Isotops berechnen

hm.. da hab ich eine Frage was gibt diese Formel ( M(t)=Ce^kt)  überhaupt wieder, was bedeuten die Buchstaben.. Woher weiß ich was mir fehlt und was ich zuerst rechnen muss??

Comments

EDIT: Es heisst " exponentielles Wachstum "

Es ist von Vorzeil, wenn du in deinen Aufgaben... weisst, wie euer Thema genau heisst. Ich habe das Wort in der Überschrift mal korrigiert. 

Answer 1

Hallo Lara,

"Eine Bakterienkultur wächst exponentiell um 30% in 10 Stunden, wie lange braucht sie für 50%?"

Nimm mal an, das Wachstum der Bakterienkultur verhält sich wie

$$M(t) = C \cdot e^{k\cdot t}$$ warum das so ist, lass ich zunächst beiseite. $M(t)$ ist die Masse oder Anzahl der Bakterien, diese verändert sich mit der Zeit $t$. Das $C$ ist eine Konstante und ebenso das $k$. $C$ beschreibt die Menge zum Zeitpunkt $t=0$ - das sieht man, wenn man für $t$ die $0$ einsetzt.

$$M(t=0) = C \cdot e^{k\cdot 0} = C \cdot e^{0} = C \cdot 1 = C$$ Das $k$ gibt die Geschwindigkeit des Wachstums an. Dies sieht man bei der Aufgabe. Mal angenommen es gibt irgendeinen Zeitpunkt $t=t_1$:

$$M(t_1) = C \cdot e^{k\cdot t_1}$$

da wissen wir zunächst nicht mehr als vorher. Jetzt betrachte $M$ nach 10 Stunden ($t=t_1 + 10\text{h}$):

$$M(t_1 + 10\text{h}) = C \cdot e^{k\cdot (t_1 + 10\text{h})}$$

und Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass nun 30% mehr Bakterien da sind als zum Zeitpunkt $t_1$ - also

$$M(t_1 + 10\text{h}) = C \cdot e^{k\cdot (t_1 + 10\text{h})} = (1 + 30\%)M(t_1)= 1,3M(t_1)$$

Demnach ist

$$C \cdot e^{k\cdot (t_1 + 10\text{h})} = 1,3 \cdot C \cdot e^{k\cdot (t_1)}$$

teile durch $C$

$$e^{k\cdot (t_1 + 10\text{h})} = 1,3 \cdot e^{k\cdot (t_1)}$$

Jetzt hoffen wir, dass Du die Potenz- und Logarithmusregeln kennst ...

$$e^{k\cdot (t_1)} \cdot e^{k\cdot (10\text{h})} = 1,3 \cdot e^{k\cdot (t_1)} \quad \left| \div e^{k\cdot (t_1)}\right.$$

$$e^{k\cdot (10\text{h})} = 1,3 \quad \left| \ln \right.$$

$$k\cdot (10\text{h}) = \ln(1,3) \quad \left| \div 10\text{h} \right.$$

$$k = \ln(1,3)\frac{1}{10\text{h}} \approx 0,02624 \text{h}^{-1}$$

Wenn Du nun wissen willst, wie lange es dauert, bis die Kultur um 50% gewachsen ist, so setze $k$ ein. Die Zeitdauer sei $x$. Der Rechenweg derselbe wie oben:

$$M(t_1 + x) = C \cdot e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1 + x)} = 1,5M(t_1)$$ $$C \cdot e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1 + x)} =1,5 C \cdot e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1)}$$ $$e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1 + x)} =1,5 e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1)}$$ $$e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot t_1} \cdot e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot x} =1,5 e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1)}$$ $$e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot x} =1,5$$ $$0,02624 \text{h}^{-1} \cdot x = \ln(1,5)$$ $$x = \frac{\ln(1,5)} {0,02624 \text{h}^{-1}}= \frac{\ln(1,5)} {0,02624 }\text{h} \approx 15,45 \text{h} \approx 15 \text{h}27 \text{min}$$ Die weiteren Aufgabe laufen genau nach dem selben Schema. Wenn Du Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

1.Eine Bakterienkultur wächst exponentiell um 30% in 10 Stunden, wie lange braucht sie für 50%?

1,3= e^k*10

k= ln1,3/10

1,5= e^k't

t= ln1,5/k

t= 15,45 Stunden

2.Bakterienkoloie wächst expot. Heute um 19 Uhr betrug die Anzahl der Bakterien 10.000 Stück. Sie wächst um 10% in 70 Min. Welche Population war heute um 8:00 gegeben?

1,1= e^k*70

k= ln1,1/70

x*e^k*11*60= 10000

x= 4071

3. Im Verlauf des Experiments verminderte sich die Masse eines Isotops durch radioaktiven Zerfall. Nach 10 sec nach Beginn das Experiments waren 10% zerfallen.

a. Konstente k berechnen mit  M(t)=Cekt

0,9= e^k*10

k= ln0,9/10

b. Zu welchem Zeitpunkt ist nur noch 1/10 der zu Beginn vorhandenen Masse übrig?

0,1= e^k*t

t= 219 Sekunden

c. Halbwertszeit des Isotops berechnen

0,5= e^k*t

t= ln0,5/k = 65,79 Sekunden

M(t) = C*e^k*t

t= Zeit, die vergangen ist

M(t)= Endbestand nach t Zeiteinheiten

C= Anfangsbestand

k =Wachstums-/Zerfallskonstante

e= Eulersche Zahl

Answer 3

> Unsere Lehrerin hat uns nur nur eine Formel vorgestellt M(t)= Ce^kt.

Zu einer Vorstellung gehört auch, was die einzelnen Teile bedeuten. Zum Beispiel müsste sie so etwas gesagt haben wie

• C ist der Anfangsbestand.
• M(t) ist der Bestand bei t.
  
• t ist das was eine Veränderung des Bestandes bewirkt.
• k beinflusst die Änderungsrrate des Bestandes.

> Eine Bakterienkultur

C = 1.

> wächst exponentiell ... in 10 Stunden,

Die Veränderung des Bestandes wird durch die Zeit hervorgerufen. t ist also die Zeit. Ich wähle dafür die Einheit "Stunden".

> ... um 30% in 10 Stunden

Dann ist in 10 Stunden das 1,3-fache des Anfangsbestandes vorhanden. Mit anderen Worten

        M(10) = 1,3·C = 1,3.

Laut eponentiellem Wachstum ist aber auch

        M(10) = C·e^10k = e^10k.

Gleichsetzen liefert

        1,3 = e^10k.

Lösung dieser Gleichung ist

        k = 1/10 ln (1,3).

Die vollständige Funtkionsgleihung lautet somit

(1)        M(t) = e^{t/10 ln(1,3)}

> wie lange braucht sie für 50%?

Wenn die Baktierenkultur um 50% gewachsen ist, dann ist das 1,5-fache des Anfangsbestanes da. Es gilt dann also

        M(t) = 1,5·C = 1,5.

GLeichsetzen mit (1) liefert

        1,5 = e^{t/10 ln(1,3)}.

Lösung dieser Gleichung ist

        t = 10 ln(1,5)/ln(1,3) ≈ 15.45.