Prüfe, ob Punkte P&Q auf E liegen.

Question

E: Ebene parallel zur z-Achse durch die Punkte A(3/3/0) undB(0/6/2);  P(4/2/4), Q(0/7/3)

meine Idee war es, dass man die Punkte A und B zum Normalvektor umstellt und somit den ersten Richtungsvektoren erhält und das gleich mit den Punkten P und Q. als Stützvektor könnte man somit SV(0/0/1) nutzen. 

also: E: x= (0/0/1)+r * (-3/3/2) +s * (-4/5/-1)

bin mir aber unsicher und glaube, dass dies nicht richtig sein kann!

danke für die Hilfe:)

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Vom Duplikat:

Titel: Prüfe, ob die Punkte P&Q auf E liegen. die ebene geht durch die Punkte A&B und ist parallel zur z-Achse

Stichworte: ebenengleichung,vektoren

E: Ebene parallel zur z-Achse durch die Punkte A(3/3/0) undB(0/6/2);  P(4/2/4), Q(0/7/3)

meine Idee war es, dass man die Punkte A und B zum Normalvektor umstellt und somit den ersten Richtungsvektoren erhält und das gleich mit den Punkten P und Q. als Stützvektor könnte man somit SV(0/0/1) nutzen. 

also: E: x= (0/0/1)+r * (-3/3/2) +s * (-4/5/-1)

bin mir aber unsicher und glaube, dass dies nicht richtig sein kann!

danke für die Hilfe:)

Answer 1

Hallo Henni,

E hat die Richtungsvektoren \(\vec{u}\) = [0, 0, 1]  und \(\vec{v}\) = \(\overrightarrow{AB}\) = \(\vec{b}\) - \(\vec{a}\)

Ein Normalenvektor von E ist  \(\vec{n_1}\) = \(\vec{u}\) x \(\vec{v}\)  (Vektorprodukt).

  ( Das Kreuzpodukt ergibt [-3, -3, 0] = -3 * [1, 1, 0]    →    \(\vec{n}\) = [1, 1, 0] ) 

E:  \(\vec{n}\) * \(\vec{x}\) - \(\vec{n}\) * \(\vec{a}\) = 0    (Punkt-Normalenform der Ebene) 

E:    [1, 1, 0] * [x₁, x₂, x₃] - [1, 1, 0] * [3, 3, 0] = 0

E:  x₁ + x₂  =  6

Die Koordinaten von P und Q in die letzte Gleichung einsetzen und prüfen, ob sich eine wahre Aussage ergibt.

→  P ∈ E  ,  Q ∉ E 

Gruß Wolfgang

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hey Wolfgang,

vielen Dank für die schnelle Antwort!

könntest du vielleicht die letzten Schritte erläutern? 

Gruß Henni

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Was genau verstehst du denn nicht?

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wie du von der Ebenengleichung E: (1,1,0) · (x_1,x₂,x₃) - (1,1,0) · (3,3,0) = 0

auf die Gleichung E: x₁ + x₂ = 6 kommst und wie du auf die obere Gleichung kommst.

  

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einfach die Skalarprodukte * ausrechnen:

[1, 1, 0] * [x₁, x₂, x₃] - [1, 1, 0] * [3, 3, 0]  = 0

1·x₁ + 1·x₂ + 0·x₃  -  ( 1·3 + 1·3 + 0·0)  =  0

x₁ + x₂  - 6 =  0  

x₁ + x₂  =  6 

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aaah klasse vielen lieben Dank:)