Nullstellen berechnen einer Funktion 5. Grades

Question

Ich habe Schwierigkeiten bei folgender Funktion, die Nullstellen zu berechnen: f(x)=1/10*x⁵ - 4/3*x³ + 6x

So bin ich vorgegangen:

0 = 1/10x_N⁵ - 4/3x_N³ + 6x_N 

0 = x_N (1/10x_N⁴ - 4/3x_N² + 6)

Satz vom Nullprodukt:

x_N = 0                                       oder                          1/10x_N⁴ - 4/3x_N² + 6 = 0

                                                              Substitution: x² = z

                                                                                   1/10z_N² - 4/3z_N + 6 = 0

Und dann dachte ich, man könne über die pq- oder abc-Formel die Nullstellen bestimmen und dann rücksubstituierten, aber mein Taschenrechner zeigt mir beim letzten Schritt an, dass das nicht zu berechnen ist.

Könnte mir bitte jemand schreiben, was ich da falsch gemacht habe? 

Answer 1

 ich hätte auch den gleichen Ansatz.

$$f(x)=\frac{1}{10}x^5-\frac{4}{3}x^3+6x\\f(x)=x\cdot (\frac{1}{10}x^4-\frac{4}{3}x^2+6)$$

Bei meinem Taschenrechner kann ich Funktionen 4. Grades lösen.

Aber ich mache es einfach auch mal mit der Substitution.

$$x^2:=z$$ 

Wir lösen jetzt also die Klammer.

$$\frac{1}{10}z^2-\frac{4}{3}+6\\z^2+\frac{40}{3}+60\\{x}_{1/2}=-\frac{40/3}{2}\pm\sqrt{{\frac{-40/3}{2}}^{2}-60}\\\frac{20}{3}\pm\sqrt{44,4-60}$$

L={}

Es gibt also nur die Nullstelle x=0

Als "Beweis" ist hier einmal der Graph.

~plot~ 1/10x^5-4/3x^3+6x ~plot~

Gruß

Smitty

Answer 2

mein Taschenrechner zeigt mir beim letzten Schritt an, dass das nicht zu berechnen ist.

Es gibt quadratische Gleichungen, die keine reelle Lösung haben. Das ist der Fall, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist. Prüfe das. 

Das würde dann heissen, dass dein Polynom nur die Nullstelle x=0 hat. 

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3D1%2F10*x%5E(5+)-+4%2F3*x%5E(3+)%2B+6x 

Der Graph schneidet die x-Achse tatsächlich nur in O(0|0) . 

Comments

Bitte. Gern geschehen! 

Answer 3

Im Prinzip alles richtig gemacht. Aber die Diskriminate der Gleichung für \( z \) ist kleiner als 0, also hat die Gleichung imaginäre Lösungen. Und somit besitzt die ursprüngliche Gleichung für \( x\) als einzige reelle Lösung die Lösung \( x = 0 \)

Answer 4

1/10z^2 - 4/3z + 6 = 0
ist eine Parabel.
Parabeln können keine Nullstelle,
eine Nullstelle oder 2 Nullstellen haben.
Deine Parabel hat keine Nullstelle.