Winkel im Quader ausrechnen.

Question

Zu dem (Rechteck) EDIT: Quader a= 10 LE; b= 5LE; c= 5,59 LE

Heyy, ich hab ein paar Fragen zu meiner Aufgabe, die ich seit 2 Stunden mache. Bei Aufgabenteil 1 (alle Flächendiagonalen ausrechnen) hab ich bei der Raumdiagonale A zu C bei Alpha den winkel 26,565 grad raus, und das selbe ergebnis habe ich auch bei dem winkel alpha bei der raumdiagonale a zu g. Das selbe gilt für winkel gamma bei beiden. Was ist daran falsch???
2. ich soll den Winkel epsilon (AMB) ausrechnen. Mit M ist der Schnittpunkt der Raumdiagonalen gemeint. Aber welcher winkel ist denn epsilon, in dem entstandenen dreieck gibt es 3 winkel?? Und wie rechne ich das dann aus?

Ich bin ein hoffnungsloser fall in mathe und würde mich über hilfe freuen! 

Comments

Hast du eine Skizze erstellt oder ist eine vorhanden? 

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Jaa, ich habe eine erstellt.

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Dann zeig sie mal her.

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Das ist meine Skizze

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Ich empfinde deine Aufgabe als völlig wirr. Kannst ggf. ein Foto der originalaufgabe einstellen?

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Ich steig durch die aufgabe genau so wenig durch. eine original aufgabenstellung gibt es wohl nicht. Der lehrer hat die aufgabe so an die tafel geschrieben, wie es oben bei d) auch steht. Und dann das Rechteck dazu gezeichnet (also ist die original aufgabenstellung das selbe was ich auch hab, nur ohne das selbsteingezeichnetes dreieck in der mitte und ohne Raumdiagonalen)

Answer 1

Du schriebst: "Zu dem Rechteck a= 10 LE; b= 5LE; c= 5,59 LE" Du meinst Quader und nicht Rechteck - oder?

Du fragtest: "Das selbe gilt für winkel gamma bei beiden. Was ist daran falsch???" Nichts! das ist richtig. Die Abmessungen des Quaders wurden so gewählt, dass diese Winkel (in etwa) gleich sind. Daher diese etwas 'krumme' Zahl von $c=5,59 \text{LE}$.

Obige Skizze zeigt den Quader im Schrägriss. Der blaue und grüne Winkel sind in etwa gleich groß.

"2. ich soll den Winkel epsilon (AMB) ausrechnen. Mit M ist der Schnittpunkt der Raumdiagonalen gemeint. Aber welcher winkel ist denn epsilon, in dem entstandenen dreieck gibt es 3 winkel?? Und wie rechne ich das dann aus? " Welcher Winkel epsilon ist, können wir Dir auch nicht sagen, wenn Du uns nicht die vollständige Aufgabenstellung mitteilst, bzw. das zugehörige Bild zeigst. Den Winkel $\angle AMB$ kann man über den Cosinussatz berechnen. Im Dreieck $\triangle ABM$ ist die Seite $AB=a=10\text{LE}$ bekannt. Das Dreieck ist wegen der Symmetrie ein Gleichschenkliges. D.h. $AM=MB$ und $AM$ ist die Hälfte der Raumdiagonale $AG$ und die folgt aus dem Pythagoras:

$$AM=\frac12 AG = \frac12 \sqrt{10^2 + 5^2 + 5,59^2} \approx 6,25$$ Der Cosinussatz im $\triangle ABM$ für $\angle AMB$ sagt nun:

$$AB^2 = AM^2 + MB^2 - 2\cdot AM \cdot MB \cdot \cos{(\angle AMB)}$$ $$\begin{aligned} \cos{(\angle AMB)} &= \frac{ 2\cdot AM^2 -AB^2}{ 2 \cdot AM^2}=\frac{2 \cdot 6,25^2 - 10^2}{2 \cdot \colorbox{#ffff88}{6,25}^2} \\ &= \frac{-21,875}{\colorbox{#ffff88}{78,125}} =\colorbox{#ffff88}{-0,28}\end{aligned}$$ $$\Rightarrow \angle AMB \approx \colorbox{#ffff88}{106,3}°$$ Gruß Werner

Edit: Fehler beim Einsetzen korrigiert (gelb markierte Stellen)

Comments

Aha - ich sehe gerade Deinen letzten Kommentar! Die Information $\epsilon = \angle AMB$ hatte noch gefehlt. Dann sollte meine Antwort wohl vollständig sein.

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... falls Ihr 'Cosinussatz' noch nicht gehabt habt, so melde Dich bitte! Es gibt noch eine andere Möglichkeit $\epsilon$ zu berechnen.

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Wooow, vielen lieben dank! Aber was ist zu 1. nicht verstehe (also wieso da das selbe rauskommt):

Wenn man das Rechteck ABCD zu einem Dreieck ABC ausschneiden würde, wäre (im Bild b; aber im dreieck seite a) 5LE lang. Würde man dieses dreieck dann nehmen und hochstellen (B an Kante C; A an A und C an G) würde C die Ecke G gar nicht berühren, da die Höhe mehr ist als die Seite und somit kann das doch gar nicht passen (ich hoffe, sie konnten mir folgen)

2. also ist mit epsilon der winkel von M gemeint?

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Der Cosinussatz ist doch 

(a*a - b*b - c*c) / (-2*b*c) oder?

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"(B an Kante C; A an A und C an G) würde C die Ecke G gar nicht berühren, da die Höhe mehr ist als die Seite und somit kann das doch gar nicht passen " Du kannst B nicht an die senrechte Kante in C bringen, da $AB \le AC$ ist. Das Dreieck $\triangle ABC$ ist kleiner als $\triangle ACG$. Aber beide Dreiecke sind in etwa ähnlich - es ist

$$\frac{AB}{BC} = \frac{AC}{CG}$$ Beide Dreiecke sind auch rechtwinklig. Euer Lehrer hat wahrscheinlich gemeint:

$$c=CG= \frac52 \sqrt{5} \approx 5,59017$$ Die Flächendiagonale $AC$ ist $=5\sqrt{5}$ und wäre damit genau doppelt so lang wie $c=CG= \frac52 \sqrt{5}$. D.h - in beiden Dreiecken verhalten sich die Längen der Katheten wie 2:1.

"Der Cosinussatz ist doch  (a*a - b*b - c*c) / (-2*b*c) oder?" fehlt noch das $\cos \alpha$:

$$\cos \alpha = \frac{a^2 - b^2 - c^2}{-2bc}$$

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Also kann das mit den Winkeln doch nicht hinkommen? Oder stimmt es, das die Winkel exakt gleich sind, obwohl die Dreiecke nicht gleichgross sein können? Ich bin verwirrt. 

Jaa, stimmt, mein Lehrer meinte auch, dass AC = 5wurzel5 = 11,18 ist

Woher weiss ich denn jetzt, wie lang AM bzw. BM ist? Ich bin echt ein hoffnungsloser fall in mathe, es tut mir leid :(

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Achja stimmt, AM bzw. BM ist die hälfte der raumdiagonalen AG. Und dann einfach mit dem Cosinussatz, den sie mir eschrieben haben, ausrechnen?

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ich hatte gestern Abend einen Wert falsch eingesetzt; habe das aber jetzt korrigiert (s.Antwort) $\epsilon\approx 106,3°$

"Also kann das mit den Winkeln doch nicht hinkommen? Oder stimmt es, das die Winkel exakt gleich sind, obwohl die Dreiecke nicht gleich gross sein können?" Wenn $c=\frac52\sqrt{5} \approx 5,59$ ist, sind die Winkel identisch. Ist $c=5,59$ sind sie nur ungefähr gleich, da $\frac52\sqrt{5} \ne 5,59$ sondern nur $\frac52\sqrt{5} \approx 5,59$. Wenn $c=\frac52\sqrt{5}$, sind die Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle ACG$ zwar nicht gleich, aber ähnlich; d.h. ihre drei Winkel sind gleich groß!

Ich habe Dir das noch mal im Geoknecht3D gezeichnet. Rotiere die Szene mit der Maus, dann bekommst Du einen räumlichen Eindruck. (klick auf das Bild)

 

Das blaue und das grüne Dreieck sind gleich und beide sind ähnlich zu $\triangle ACG$.

"Ach ja stimmt, AM bzw. BM ist die Hälfte der Raumdiagonalen AG. Und dann einfach mit dem Cosinussatz, den sie mir geschrieben haben, ausrechnen?" Ja - genau. Wobei es ginge auch ohne Cosinissatz, falls Ihr den noch nicht gehabt habt.

Gruß Werner

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Wow danke, jetzt habe ich es verstanden!! Danke :) ich habe auch 106grad für Epsilon raus!

Den Cosinussatz hatten wir schon, aber ich komme immer durcheinander wann man sinus cosinus und wann tangens benutzt und wann man das hoch minus 1 rechnen muss und, und, und...