Strenge Monotonie der Funktion f(x) = (1/x + 1)·LN(1 + x) zeigen

Question

Wie zeige ich das strenge monotone Wachstum der folgenden Funktion?

$$ f(x) = (\frac{1}{x}+1)log(1+x)  $$ für x>0 und $$ f(x) = 1 $$ für x=0

Answer 1

f(x) = (1/x + 1)·LN(1 + x) 

f'(x) = 1/x - LN(x + 1)/x^2 = (x - LN(x + 1))/x^2

Erste Ableitung ist immer positiv da

x > LN(x + 1)

e^x > x + 1

Für x = 0 wären beide seiten noch gleich. Da e^x für x > 0 aber schneller als 1 steigt liegt e^x immer über x + 1 für x > 0.

Comments

1 steigt nicht.

---

Ich meinte die Steigung 1 und nicht die Gerade mit der Steigung y = 1. Hab mich wohl missverständlich ausgedrückt.