Du brauchst nicht voraussetzen, dass f differenzierbar ist, es reicht Stetigkeit.
(1) Wenn f streng monoton ist, dann gilt für x=y das entweder x<y oder x>y gilt. Wegen der strengen Monotonie folgt in jedem Fall, dass f(x)=f(y) gilt und damit ist die Funktion injektiv.
(2) f ist jetzt stetig und injektiv.
Da f injektiv ist, gilt f(a)=f(b) und o.B.d.A sei f(a)<f(b), dann gilt f(a)<f(x)<f(b) für alle x∈(a,b).
Denn angenommen es gäbe ein x0∈(a,b) mit z.B. f(x0)≤f(a)<f(b) dann folgt aus dem ZWS für stetige Funktionen, das es ein ξ∈(x0,b) gibt mit f(ξ)=f(a)
Da ξ=a gilt, widerspricht dies aber der Injektivität.
Und genaus gibt es einen Widerspruch im f(a)<f(b)≤f(x0)
Sei jetzt a<x<y<b, dann gilt wegen dem eben bewiesenen auch f(x)<f(y) und damit ist die Funktion stereng monoton.