Hauptbedingung: \(A_O=2a^2+4ah\) (a ist die Seitenlänge der Grundfläche, h ist die Höhe)
Nebenbedingung: \(a^2\cdot h=1000 \Rightarrow h=\frac{1000}{a^2}\) Einsetzen in Hauptbedingung
\(A_O(a)=2a^2+\frac{4000}{a}\)
Davon das Minimum berechnen:
\(A_O'(a)=4a-\frac{4000}{a^2}, A_O''(a)=4+\frac{8000}{a^3}\)
\(A_O'(a)=4a-\frac{4000}{a^2}=0\Rightarrow 4a^3-4000=0 \Rightarrow a=10\)
Einsetzen in zweite Ableitung: \(A_O''(10)=12>0\), also Minimum.
Die Länge der Grundfläche ist also 10cm, die Höhe ist dann 1000/10^2=10cm. Also ist der Quader ein Würfel.
Allgemein hat von allen Quadern mit gleichem Volumen der Würfel die kleinste Oberfläche.
