Textgleichung in eine Gleichung umwandeln

Question

Ich möchte gerne verstehen wie man die Textgleichung in eine normale Gleichung auflöst ^^ ! Danke schon voraus 

Die Anteile am Unternehmensgewinn, der im abgelaufenen Geschäftsjahr € 37.000.- betragen hat, soll folgendermaßen aufgeteilt werden: Teilhaber X bekommt um ein Viertel mehr als Y, Z bekommt um ein Drittel weniger als X. Berechnen Sie,wie viel jeder der drei Teilhaber bekommt.

Answer 1

Hallo Max,

nimm das, was dort steht, wörtlich und setze es Stück für Stück 'formal' um:

"Die Anteile am Unternehmensgewinn, der im abgelaufenen Geschäftsjahr € 37.000.- betragen hat, soll folgendermaßen aufgeteilt werden:"

Wir wissen jetzt, dass ein Gewinn in Anteile aufgeteilt werden soll. Und wenn man schon mal weiter liest, ohne auf die Details einzugehen, so kann man schon sagen, dass

$$x+y+z = 37.000,- \text{EUR}$$ Wenn x, y und z die Anteile sind, die die Teilnehmer X, Y und Z bekommen.

"Teilhaber X bekommt um ein Viertel mehr als Y,... " heißt: Der Anteil x ist so groß wie y plus ein Viertel davon:

$$x = y + \frac14y = \frac54 y$$ "... Z bekommt um ein Drittel weniger als X." heißt: Der Anteil z ist so groß wie x weniger als ein Drittel davon

$$z = x - \frac13x = \frac23x$$ Jetzt noch das Formale: z in die erste Gleichung einsetzen und dann die zweite in die erste

$$\frac54 y+ y+\frac23\cdot\left(\frac54 y\right) = 37.000,-\text{EUR}$$ $$\frac{37}{12} y= 37.000,-\text{EUR} \quad \Rightarrow y= 12.000,-\text{EUR}$$ Daraus folgt dann $x= 15.000,-\text{EUR}$ und $z=10.000,-\text{EUR}$. Jetzt noch die Probe .. und es scheint zu stimmen!

Gruß Werner

Answer 2

Die Anteile am Unternehmensgewinn, der im abgelaufenen Geschäftsjahr € 37.000.- betragen hat, soll folgendermaßen aufgeteilt werden: Teilhaber X bekommt um ein Viertel mehr als Y, Z bekommt um ein Drittel weniger als X. Berechnen Sie,wie viel jeder der drei Teilhaber bekommt.

x + y + z = 37000

x = (1 + 1/4) * y

z = (1 - 1/3) * x

Löse das Gleichungssystem und erhalte: x = 15000 ∧ y = 12000 ∧ z = 10000