Komplexe Gleichung lösen z4 -7z³ + 19z² -23 z +10 = 0

Question

z⁴ -7z³ + 19z² -23 z +10 = 0

davon ist eine Nullstelle bekannt -> z₁ = 2+i

_{wie lauten die anderen Lösungen?!}

_{Jetzt habe ich eine Nullstelle geraten, z=2, dann mit Polynomdiv geteilt durch (z-2) gerechnet, doch dann entsteht eine GLeihung 3.Grades... was kann ich dann machen, oder gibt es eine bessere Lösung.}

_{Ich denke auch, dass man dieses z1 sicher verwenden sollte...sonst wäre es nicht angegeben. KAnn es sein, dass immer, wenn z1=2+i ist es automatisch auch  2-i ist?!}

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Alternative ohne Polynomdivision, falls zwei Nullstellen bereits bekannt sind:
Nach Vieta gilt z₁ + z₂ + z₃ + z₄ = 7 und z₁·z₂·z₃·z₄ = 10. Löse nach z₃ und z₄ auf.

Answer 1

Hallo Alonso,

Das ist doch eigentlich gar nicht so schwierig. Wenn Du nicht mehr weiter weißt, so skizziere den Graphen der Funktion

$$f(z)=z^4 -7z^3+19z^2-23z+10$$ dafür gibt es hier ganz prima Werkzeuge wie den 'Plotlux-Plotter':

Plotlux öffnen

f₁(x) = x⁴-7x³+19x²-23x+10

Dann liegt der Verdacht nahe, dass die Funktion zwei reelle Nullstellen $z_3=1$ und $z_4=2$ hat. Die Polynomdivision bestätigt diesen Verdacht.

$$\begin{aligned}(&z^4 &-7z^3 &+19z^2 &-23z &+10) \div (z-1) = z^3 - 6z^2 + 13 z -10 \\ &z^4 &-z^3 \\ && \overline{-6z^3} &+19z^2 \\ &&-6z^3 &+6z^2 \\ &&& \overline{+13z^2} &-23z \\ &&& +13z^2 &-13z \\ &&&&\overline{-10z} &+10\\ &&&&-10z &+10 \\ &&&&& \overline{0}\end{aligned}$$  es bleibt kein Rest, das war schon mal eine Lösung. Und mit $z_4=2$ erhält man

$$(z^3 - 6z^2 + 13 z -10) \div (z-2) = z^2 -4z + 5$$ mit jeder Polynomdivision reduzierst Du den Grad der Funktion und umso einfacher ist es, weitere Nullstellen zu finden. Hier bleibt eine quadratische Gleichung über. Die pq-Formel liefert

$$z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 5} = 2 \pm i$$ was mit der oben gegebenen Lösung übereinstimmt.

Der alternative Lösungsweg ist folgender. Gast jc2144 schrieb es schon: "da die Koeffizienten des Polynoms alle reell sind, so ist das komplex konjugierte der gegebenen Lösung auch eine Lösung---> z_2=2-i" Wir haben also bereits zwei Lösungen $$z_{1,2} = 2 \pm i$$ D.h. auch, das Polynom muss durch den Term

$$(z - 2 - i)(z-2+i) = ((z - 2) - i)((z-2)+i) = (z-2)^2 + 1 \\ \space= z^2 -4z +4+1 = z^2 -4z +5$$ teilbar sein (3. binomische Formel). Wieder bringt uns die Polynomdivision weiter:

$$(z^4 -7z^3+19z^2-23z+10)\div ( z^2 -4z +5) = z^2 -3z +2$$ wieder pq-Formel

$$z_{3,4} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac94 - 2}= \frac{3}{2} \pm \frac12$$ $$\Rightarrow z_3 = 2 \quad z_4 = 1$$ Wenn Du Fragen hast, insbesondere zur Polynomdivision, so melde Dich bitte noch mal.

Gruß Werner

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... ich habe die erste Polynomdivision noch mal ausführlich hingeschrieben (s.o.)

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Also  immer, wenn z1=2+i ist es automatisch auch  2-i ist?!

Ist dass immer bei komplexen zahlen und deren Nullstellen so?!

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. .das ist immer so, wenn alle Koeffizienten reell sind. Wäre ein $z$ ohne ein $\overline{z}$ eine Nullstelle, so würde im Polynom auch mindestens ein Koeffizient mit imaginären Anteil auftauchen.

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aber i ist ja schon der imaginäre anteil...?

Wie ist das dann gemeint? 

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Gerade in ich bei einer Aufgabbe am verzweifeln, es soll z = 5 +3i rauskommen...doch leider verstehe ich nicht, wie ich denn zi vermeiden kann...?!

oben auf dem Bild diie aufgabe

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Hallo Alonso,

"aber i ist ja schon der imaginäre anteil...?" Das Polynom lautet $$p(z)=z^4 -7z^3 + 19z^2 -23 z +10$$ und seine Koeffizienten sind $1; \; -7; \; 19; \; -23;\; 10$ und die sind alle reell ohne einen imaginären Anteil. Betrachte doch nur die $10$ also den Koeffizienten ohne $z$. Dieser muss das Produkt aller Lösungen sein (wenn der Koeffizient mit dem höchsten Koeffizienten =1 ist!). Es gilt doch

$$p(z)=(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)(z - z_4)$$ also muss bei diesem Polynom gelten

$$z_1 \cdot z_2 \cdot z_3\cdot z_4 = 10$$ das wäre nicht möglich, wenn nur genau eine der Nullstellen imaginär wäre und die anderen nicht! Aber ein Produkt mit einem Paar $z_1$ und $\overline{z_1}$ würde den imaginären Anteil verlieren (s.o.)

$$(z - (2 + i))(z-(2-i)) = z^2 -4z +5$$ das entstehende Polynom zweiter Ordnung hat keinen imaginären Koeffizienten mehr.

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"Gerade bin ich bei einer Aufgabe am verzweifeln ..." mache doch bitte daraus eine neue Frage in der Mathelounge.

Answer 2

da die Koeffizienten des Polynoms alle reell sind, so ist

das komplex konjugierte der gegebenen Lösung auch eine Lösung---> z_2=2-i

Nun kannst du eine Polynomdivison machen mit diesen beiden Lösungen. Dann bleibt noch eine quadratische Gleichung. Da du nun auch z=2 bereits erraten hast kannst du das auch noch rausdividieren um die letzte Lösung zu finden. 

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Wie ist das gemeint:

da die Koeffizienten des Polynoms alle reell sind, so ist

das komplex konjugierte der gegebenen Lösung auch eine Lösung---> z_2=2-i

leider verstehe ich das nicht

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Leider klappt es nicht so, wie sie es beschrieben haben...könnten SIe mir die AUfgabe eventuell zum Teil vorrechnen, dass ich es nachvollziehen kann?

Danke

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Die Koeffizienten sind die Zahlen vor den z also hier

1z⁴ -7z³ + 19z² -23 z +10 = 0

Das sind alles reelle Zahlen (im allgemeinen könnte da auch z.B (1+i) oder so stehen, das wäre dann nicht reell) und daher ist zu einer gegebenen Lösung auch immer deren komplex konjugierte eine Lösung, das ist ein mathematischer Satz, den man relativ leicht zeigen kann.

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Wir haben bereits 3 Lösungen durch raten bzw. überlegen gefunden:

z_1 = 2+i

z_2 = 2-i

z_3 = 2

Teile also das Polynom durch

[(z-(2+i))*(z-(2-i))*(z-2)] und erhalte

z-1=0 , die letzte Lösung ist also z=1

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funktionier leider nicht...bzw. bringe ich nicht hin...

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dann stell mal deinen bisherigen Versuch ein und ich suche den Fehler

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haben sie schon was rausbekommen? :)

Answer 3

Hallo Alonso,

man sieht leicht die Lösung  z₁ = 1  ,  z₂ = 2 + i  ist  gegeben und wegen der reellen Koeffizienten ist dann auch z₃ = 2 - i  eine Lösung:

Vielleicht solltest du dir doch noch einmal die Sache mit dem Hornerschema in meiner letzten Antwort ansehen (zuerst das Video, dann meine komplexe Rechnung mit den Erläuterungen)

Dann kannst du die bekannten Linearfaktoren  (z-1) , (z- (2+i))  und  (z- (2-i)) relativ einfach herausdividieren (ohne Nebnrechnungen beim Multiplizieren der Summen in der jeweils dritten Zeile mit der jeweiligen Lösung geht es leider nicht :-))   . Die Reihenfolge ist dabei natürlich beliebig:

                          1               -7                 19                  -23                 10

[ * 1 ]                 -                 1                  -6                   13                 -10

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                          1               -6                 13                  -10                   0

 [ * (2+i) ]           -               2+i              -9-2i                  10

------------------------------------------------------------------------------

                          1             -4+i               4-2i                   0

[ * (2-i) ]             -               2-i               -4+2i

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                           1              -2                  0

z - 2 = 0     →   z₄ = 2  

Gruß Wolfgang

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Aber geht das auch mit Polynomdivision...?

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Ja, aber es ist mir einfach zu schreibaufwendig, alle Rechnungen dazu hinzuschreiben. Und mit dem HS machst du auch nichts anderes.

Die blauen Terme  sind jeweils die Koeffizienten des Ergebnisses einer der  Polynomdivisionen. 

z. B.  ergibt sich für die zweite Division

(z³ - 6z² + 13z - 10) : (z - (2+i))  =  z² + (-4+i) · z  +  4-2i  

Glaube mir:

Es lohnt sich, das Hornerschema zu begreifen!

(Warum glaubst du, dass alle anderen Antwortgeber dir immer nur das Ergebnis der Polynomdivisionen angegeben haben? :-)) 

Bei mit steht die komplette Rechnung, die du in einer Klausur genau so abgeben kannst!