Sollte nicht wirklich das Problem sein - du das geht nach Schema F . Es ist zuzufällig mein Hbby.
1 1 1
------------ + ------------------ = ----------- ( 1a )
x + a x - a/2 a
1 2 1
------------ + ------------------ = ----------- | * HN ( 1b )
x + a 2 x - a a
Sicher; was du zuerst tust, ist Geschmacksache. Aber Doppelbrüche sind eine Hauptfehlerquelle; den zweiten Bruch tu ich erweitern mit 2 . Jetzt folgt der Standardschritt; Multiolikation mit dem HN . Alle Brüche werden weg gemacht.
a ( 2 x - a ) + 2 a ( x + a ) = ( x + a ) ( 2 x - a ) ( 2a )
Im nächsten Schritt werden links und rechts die Klammern aufgelöst; im Endeffekt kommt raus
a ² + 4 a x = 2 x ² + a x - a ² ( 2b )
2 x ² - 3 a x - 2 a ² = 0 | : a ² ( 2c )
Wenn du mal super schlau werden willst. In einem Anfall von Genialität könntest du doch auf die Idea verfallen, in ( 2c ) y zu schreiben statt a . Und dann wäre auf einmal
2 x ² - 3 a x - 2 a ² = c = const ( 3a )
die ( implizite ) Darstellung einer Funktion a = a ( x ) , die du z.B. plotten könntest. So ein Ding wie die linke Seite von ( 3a ) i heißt ===> homogene quadratische Form ( HQF ) Eine HQF stellt immer einen ===> Kegelschnitt dar; ; eigentlich hofft man, dass bei ( 3a ) die ( beiden Äste ) einer ===> Hyperbel heraus kommen - warum?
Weil sich heraus gestellt hat, dass wenn du die Konstante c in ( 3a ) Null setzt so wie in ( 2c ) geschehen. Dann bekommst du eine ganz besondere Lösung, nämlich die beiden ===> Asymptoten dieser Hyperbel. Also zwei Geraden, die sich im Nullpunkt schneiden. Deshalb nämlich hab ich dir das Ganze erzählt, damit du verstehst, dass in ( 2c ) die Funktion x = x ( a ) ZWANGSLÄUFIG ein Geradenpaar ergibt.
Weil es wäre ja noch die Alternative denkbar, dass die HQF in ( 3a ) zu einer ===> Ellipse gehört; eine Ellipse hat natürlich keine Asymptoten. ( Da käme dann nur Unfug und Unsinn raus. )
Ich habe auch gleich die Umformung vermerkt, die ich in ( 2c ) vorzunehmen gedenke.
m := x / a ( 3b )
Dieses m ergibt ganz normal die Steigung dieser Geraden, wie du es gelernt hast, wenn du x plottest als Funktion von a . Und jetzt setze die Definition von m ein in ( 2c )
2 m ² - 3 m - 2 = 0 ( 3c )
( 3c ) kennst du; eine stink normale quadratische Gleichung ( QG ) die uns zwei Zahlen m1;2 ausspucken wird - die Steigungen besagter Asymptoten. Zu meiner Zeit war unter den Schülern ein Spruch sehr verbreitet
" Ist es denkbar, dass auch heute noch etwas entdeckt wird, das man so leicht kapieren kann wie Pi und das vor allem für Schüler so wichtig ist wie Pi? "
Im Jahre 2011 erfuhr ich aus dem Internet ( " Macht Internet dumm? " ) dass die Antwort auf diese Frage Ja lautet. Damals nämlich erfuhr ich von dem ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) ( Dieser lässt sich zuurück verfolgen bis 1975 ; von Entdecker und Entdeckungsjahr fehlt nach wie vor jede Spur. )
Vom SRN nun ließ ich mich meinerseits zu einer Entdeckung hinreißen, die in gut 99 % der Fälle die Wurzeln einer QG schneller findet als die Mitternachtsformel und - was das Wichtigste ist - sich obendrein noch als Probe eignet.
Du gehst immer aus von einem ===> primitiven Polynom ( ganzzahlig gekürzt )
a2 m ² + a1 m + a0 = 0 ( 4a )
a2 = 2 ; a1 = ( - 3 ) ; a0 = ( - 2 ) ( 4b )
Gesetzt den Fall, du hast zwei rationale Wurzeln.
m1;2 = p1;2 / q1;2 € |Q ( 4c )
die wir wie üblich als gekürzt voraus setzen wollen. Dann gelten die beiden Habakuk pq-Formeln
p1 p2 = a0 = ( - 2 ) ( 4d )
q1 q2 = a2 = 2 ( 4e )
Ja da bleibt wohl nicht mehr viel Auswahl; mit ( 4e ) hast du eine GANZZAHLIGE so wie eine HALBZAHLIGE Wurzel. Aber welcher Seite schlagen wir die 2 zu? 2 und 1/2 ginge; aber 1 und 2/2 ??? Doch halt; wir hatten strikt gefordert: Bruchdarstellungen müssen gekürzt sein. Die zweite Möglichkeit kommt nicht in die Tüte.
Woher weiß ich, dass es überhaupt rationale Wurzeln gibt?
Außerdem bleibt noch das Vorzeichen in ( 4d ) zweideutig. Hinreichende Bedingung - überlebenswichtig in jeder Klausur; Vieta p . Ich brauche die Normalform von ( 4ab )
m ² - p m + q = 0 ( 5a )
p = 3/2 ; q = ( - 1 ) ( 5b )
Die Vietaformel lautet
p = m1 + m2 ( 5c )
Prüfen wir es erst mal dem Betrage nach, ob es überhaupt passt.
| m1 | = 1/2 ; | m2 | = 2 : | p | = 3/2 ( 5d ) ; ok
Da aber p in ( 5b ) positiv ist, muss die betragsgrößere Wurzel, also 2 , Plus sein. Jetzt erinnern wir uns wieder an die Definition von m in ( 3b ) ; deine beiden Geradengleichungen lauten
x1 = - 1/2 a ; x2 = 2 a ( 6 )
aufgabe sehr elegant gelöst; das war die Pflicht. Es kommt aber noch die Kür; nachher wenn ich wieder Zeit hab, kriegst du noch eine kleine Ergänzung, damit du weißt, in welchem Film dass du hier überhaupt bist ...
