Schätzen des Erwartungswerts und Bestimmung des Konfidenzintervalls

Question

Hallo Liebe Mathefreund,

ich habe Probleme mit folgender Aufgabe und wäre euch echt mega dankbar wenn Ihr mir hier weiterhelfen könntet. Ich weiß einfach nich wie ich an diese Aufgabe rangehen soll bzw. mit welcher Formel...

Die Aufgabe lautet:

Widerstandsmessungen von 9 zufällig ausgewählten Widerständen aus einer Grundgesamtheit von 10 000 ergab folgende Messergebnisse:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ri	100Ω	104Ω	98Ω	96Ω	101Ω	104Ω	98Ω	99Ω	100Ω

Schätzen Sie den Erwartungswert und bestimmen Sie das 95%ige Vertrauensintervall (Konfidenzintervall) des Erwartungswertes der Zufallsgrößen „Widerstand“, wenn die Zufallsgrößen als gleich und normalverteilt mit unbekannter Varianz σ² angenommen werden.

Vielen Dank schonmal im voraus :)

Answer 1

Man nimmt das arithmetische Mittel als Punktschätzer für den Erwartungswert, das ergibt 100. dann rechnet man die Stichproben Varianz aus, da bekomme ich 7,5 heraus. Man muß nun die t-Verteilung mit 8 Freiheitsgraden nutzen und das Intervall erhält man durch die Formel:

\( \bar{x}-\Delta \leq \mu \leq \bar{x}+\Delta, \quad \Delta=\mathrm{t}_{n-1 ; 1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \)

damit komme ich auf das Intervall [97,93;102,07]

Comments

Ich kann das Intervall bestätigen.

$$n = 9 \newline \overline x = 100 \newline s = \sqrt{7,25} \newline t_{0,975;8} = 2,306 \newline \left[ \overline x - t_{0,975;8} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} ; \overline x + t_{0,975;8} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right] \newline = \left[ 100 - 2,306 \cdot \frac{\sqrt{7,25}}{\sqrt{9}} ; 100 + 2,306 \cdot \frac{\sqrt{7,25}}{\sqrt{9}} \right] \newline \approx \left[ 97,93 ; 102,07 \right]$$

Answer 2

Wenn ich den Erwartungswert schätzen soll brauche ich keine Formel. Ich würde 100 Ω schätzen.Da liegen vier Werte drunter und drei drüber sowie zwei werden genau erwischt.

Comments

Das passt so vermutlich nicht.

Mathematisch ist die Berechnung eines Mittelwerts eine Schätzung des Erwartungswerts. Du hast es hier mit einer Stichprobe zu tun.