Gegeben sind drei Punkte. Ermittle den Funktionsterm

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Gegeben sind drei Punkte. Ermittle den Funktionsterm

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habakuktibatong · Answer 1 · 2018-03-07T02:09:12+0000

Die 3 Unbekannten kannst du auf zwei reduzieren, wenn du über den ===> Mittelwertsatz ( MWS ) gehst. Der MWS besagt, dass es im Inneren des Intervalls [ a ; b ] einen Punkt x0 gibt, eben den " Mittelwertt " im Sinne des MWS , für den die Tangente parallel der Kurvensehne durch a und b verläuft. Für Parabeln gilt aber wörtlich

x0 = 1/2 ( a + b ) ( 1 )

( Wieder mal einer meiner schäbigen Tricks. )

f ( x ) = a2 x ² + a1 x + a0 ( 2a )

f ' ( x ) = 2 a2 x + a1 ( 2b )

Durch das Ableiten ist die Unbekannte a0 schon mal eliminiert.

Welche Steigung hat die -sehne von A nach C ?

19 - ( - 5 )

m ( A ; C ) = --------------------------------- = 12 ( 3a )

3 - 1

Das wird aber jetzt gleichzeitig die Ableitung in x = 2

4 a2 + a1 = 12 ( 3b )

Die Steigung der Sehne von B nach C ist 15 ; und das wird die Anleitung in x = 5/2

5 a2 + a1 = 15 ( 3c )

Das Subtraktionsverfahren ( 3c ) - ( 3b ) führt unmittelbar auf a2 = 3 , woraus sich sofort ergibt a1 = 0 . Als Nächstes setze ich den Punkt A in die Ausgangsfunktion ein, um an a0 ranzukommen.

3 + a0 = ( - 5 ) ===> a0 = ( - 8 ) ( 4a )

f ( x ) = 3 x ² - 8 ( 4b )

Der_Mathecoach · Answer 2 · 2018-03-06T23:18:45+0000

Gegeben sind die Punkte A (1 / -5) B(2 / 4) C(3 / 19). Ermittle den quadratischen Funktionsterm.

f(x) = a·x^2 + b·x + c

f(1) = -5 --> a + b + c = -5

f(2) = 4 --> 4·a + 2·b + c = 4

f(3) = 19 --> 9·a + 3·b + c = 19

II - I ; III - I

3·a + b = 9

8·a + 2·b = 24

II - 2*I

2·a = 6 --> a = 3

3·(3) + b = 9 --> b = 0

(3) + (0) + c = -5 --> c = -8

f(x) = 3·x^2 - 8

~plot~ 3x^2-8;{1|-5};{2|4};{3|19};[[-1|4|-9|20]] ~plot~

lul · Answer 3 · 2018-03-07T00:07:17+0000

Hallo

du hast doch y=ax^2+bx+c

setze die 3 Punkte ein, dann hast du 3 lineare Gleichungen mit den Unbekannten a,b,c.

1.-5=a+b+c

2. 4=4a+2b+c

3. 19=9a+3b+c

2.-1. : 9=3a+b

3.-2. 15=5a+b

jetz die 2 neuen subtrahieren

-6=2a und du hast a=-3 in 9=3a+b einsetzen ergibt b. dann in 1. einsetzen gibt c

Gruß lul

georgborn · Answer 4 · 2018-03-07T06:30:11+0000

Ich komme immer auf zwei Unbekannte.

Die Aufgabe fällt unter " Lösen eines linearen
Gleichungssystems ".
Hier 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Es gibt verschiedene Lösungswege : Additions-
verfahren, Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungs-
verfahren, Gauß.

f(1) = -5 --> a + b + c = -5
f(2) = 4 --> 4·a + 2·b + c = 4
f(3) = 19 --> 9·a + 3·b + c = 19

a + b + c = -5
4·a + 2·b + c = 4
9·a + 3·b + c = 19

1.Schritt
Wie mache ich aus 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten
1 Gleichung mit 2 Unbekannten ?

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

a + b + c = -5 | * 4
4·a + 2·b + c = 4 | * 1

4a + 4b + 4c = -20
4a + 2b + c = 4 | abziehen
---------------------
4b + 4c - ( 2b + c ) = -20 - 4
( 4a ist entfallen )

2b - 2c = -24

Dasselbe machst du mit den Gleichungen
2 und 3
4·a + 2·b + c = 4 | * 9
9·a + 3·b + c = 19 | * 4

Dann hast du noch 2 Gleichungen mit
2 Unbekannten.
Diese werden nach dem gleichen Schema
gelöst.

Beantwortet 7 Mär 2018 von georgborn

Hallo Wolfgang,

da wir in Niedersachsen jetzt Ferien haben und ich nun etwas mehr Zeit habe, möchte ich Deinen an Georg gerichteten Hinweis kurz kommentieren. Mir fiel nämlich auf, dass seit Eurem kleinen "Disput" keiner von Euch beiden mehr meine Fragen beantwortet hat. Das ist an sich kein Drama, es ist ja keine Frage unbeantwortet geblieben, aber es fiel mir schon auf.

Du hast natürlich Recht mit Deiner Meinung, dass man (mathematische) Sachverhalte nicht unnötig verkomplizieren soll. Andererseits gibt es wahrscheinlich schon verschiedene Meinungen darüber, wann ein Sachverhalt kompliziert dargestellt ist.

Im konkreten Fall war der Vorschlag vom Großen Löwen, grundsätzlich erst einmal das "c" zu eliminieren, hilfreich und für mich auch der leichteste Lösungsansatz.

Grundsätzlich ist es aber in fast allen Fällen - zumindest bei mir - so, dass sich ein für mich verständlicher Rechenweg aus der Summe der Antworten ergibt. Georgs Antworten tragen oft zum Lösungsverständnis bei, da sie im Regelfall den Rechenweg sehr ausführlich darstellen.

Andererseits sind mir aber auch viele Deiner Antworten sehr hilfreich gewesen und wurden mit in mein "schlaues Heft" aufgenommen, so dass ich hoffe, dass Ihr bald wieder beide antwortet.

Kristin

Kommentiert 22 Mär 2018 von Kristin

Hallo Kristin,

zur Information :
es ist leider oder witzigerweise ein Denkfehler
in der Argumentation.

Man muß allerdings etwas Wahrscheinlichkeits-
rechnung können.

Die Wahrscheinlichkeit für 1 Bombe im
Flugzeug ist angenommen
1 zu 1 Million : 0.000001 = 0.0001 %

Gesamtwahrscheinlichkeit für 2 Bomben
0.000001 * 0.000001 = 0.00000000001
Also geringer.

Hier ist der Denkfehler : die von dir mit-
genommene Bombe hat für dich die Wahrschein-
lichkeit 1. ( trifft also zu - ist wahr )

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist also
0.000001 * 1 = 0.000001

Durch die von dir mitgenommene Bombe
ändert sich also an der Gefahr durch eine
Bombenbedrohung nichts.

Zur Erheiterung :
( wenn die Geschichte nicht wahr ist dann ist
sie gut erfunden )
der dänische Physiker hatte, wie viele seiner Landsleute, ein kleines Ferienhaus. Über der
Eingangstür hing ein Hufeisen als Glücksbringer.

Die ihn besuchenden Kollegen wunderten sich
über das Zeichen bei so einem rational denkenden
Menschen. Bohrs Kommentar :
" Man hätte ihm gesagt es würde auch wirken
auch wenn man nicht dran glaubt."

Kommentiert 23 Mär 2018 von georgborn

Gegeben sind drei Punkte. Ermittle den Funktionsterm

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