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nachdem es bei zwei weiteren Aufgaben dieser Art gut geklappt hat, stehe ich bei dieser Aufgabe "auf dem Schlauch":

Gegeben sind die Punkte A (1 / -5)     B(2 / 4)    C(3 / 19). Ermittle den quadratischen Funktionsterm.

Ich komme immer auf zwei Unbekannte.

Vielen Dank

von

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+4 Daumen

  Die 3 Unbekannten kannst du auf zwei reduzieren, wenn du über den ===> Mittelwertsatz ( MWS ) gehst. Der MWS besagt, dass es im Inneren des Intervalls [ a ; b ]  einen Punkt x0 gibt, eben den " Mittelwertt " im Sinne des MWS , für den die Tangente parallel der Kurvensehne durch a und b verläuft. Für Parabeln gilt aber wörtlich


           x0  =  1/2  (  a  +  b  )         (  1  )


    ( Wieder mal einer meiner schäbigen Tricks. )


      f  (  x  )  =  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0       (  2a  )

      f  '  (  x  )  =  2  a2  x  +  a1     (  2b  )


    Durch das Ableiten ist die Unbekannte a0 schon mal eliminiert.

   Welche Steigung hat die -sehne von A nach C ?



                                               19 - ( - 5 )

     m  (  A  ;  C  )  =       ---------------------------------     =  12        (  3a  )

                                                3 - 1



     Das wird aber jetzt gleichzeitig die Ableitung in x = 2


            4  a2  +  a1  =  12          (  3b  )


    Die Steigung der Sehne von B nach C ist 15 ; und das wird die Anleitung in x = 5/2


     5  a2  +  a1  =  15     (  3c  )


   Das Subtraktionsverfahren ( 3c ) - ( 3b )  führt unmittelbar auf a2 = 3  , woraus sich sofort ergibt a1 = 0 . Als Nächstes setze ich den Punkt A in die Ausgangsfunktion ein, um an a0 ranzukommen.


        3  +  a0  =  (  -  5  )  ===>  a0  =  (  -  8  )       (  4a  )

     f  (  x  )  =  3  x  ²  -  8     (   4b  )

von 5,5 k
+2 Daumen

Gegeben sind die Punkte A (1 / -5)    B(2 / 4)    C(3 / 19). Ermittle den quadratischen Funktionsterm.

f(x) = a·x^2 + b·x + c

f(1) = -5 --> a + b + c = -5

f(2) = 4 --> 4·a + 2·b + c = 4

f(3) = 19 --> 9·a + 3·b + c = 19

II - I ; III - I

3·a + b = 9

8·a + 2·b = 24

II - 2*I

2·a = 6 --> a = 3

3·(3) + b = 9 --> b = 0

(3) + (0) + c = -5 --> c = -8

f(x) = 3·x^2 - 8

~plot~ 3x^2-8;{1|-5};{2|4};{3|19};[[-1|4|-9|20]] ~plot~

von 293 k

Hallo Mathecoach,

erst mal vielen Dank für die Antwort zu später Stunde. 

Warum heißt es bei  II - 2* I nicht

 4a + 2b + c = 4

 2a + 2b + 2c = -10

= 2a        -c = 14

Dann hätte ich ja auch wieder zwei Unbekannte. Aber ich sehe meinen Fehler leider nicht

Die Rechnung bezieht sich auf die neuen Gleichungen

3·a + b = 9 

8·a + 2·b = 24 

II - 2*I

Hallo Mathecoach,

okay, dann habe ich das missverstanden. Klappt jetzt aber, ich bin zum gleichen Ergebnis wie Du gekommen, danke!

+1 Daumen

Hallo

 du hast doch y=ax^2+bx+c

setze die 3 Punkte ein, dann hast du 3  lineare Gleichungen mit den Unbekannten a,b,c.

1.-5=a+b+c

2. 4=4a+2b+c

3. 19=9a+3b+c

2.-1. : 9=3a+b

3.-2. 15=5a+b

jetz die 2 neuen subtrahieren 

-6=2a  und du hast a=-3 in 9=3a+b  einsetzen ergibt b. dann in 1. einsetzen gibt c

Gruß lul

von 25 k

Hallo Lul,

vielen Dank. Ich weiß jetzt, wo mein Fehler liegt.

+1 Daumen

Ich komme immer auf zwei Unbekannte.

Die Aufgabe fällt unter  " Lösen eines linearen
Gleichungssystems ".
Hier 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Es gibt verschiedene Lösungswege : Additions-
verfahren, Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungs-
verfahren, Gauß.

f(1) = -5 --> a + b + c = -5
f(2) = 4 --> 4·a + 2·b + c = 4
f(3) = 19 --> 9·a + 3·b + c = 19

a + b + c = -5
4·a + 2·b + c = 4
9·a + 3·b + c = 19

1.Schritt
Wie mache ich aus 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten
1 Gleichung mit 2 Unbekannten ?

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

a + b + c = -5  | * 4
4·a + 2·b + c = 4 | * 1

4a + 4b + 4c = -20
4a + 2b + c = 4  | abziehen
---------------------
4b  + 4c - ( 2b + c ) = -20 - 4
( 4a ist entfallen )

2b - 2c = -24

Dasselbe machst du mit den Gleichungen
2 und 3
4·a + 2·b + c = 4  | * 9
9·a + 3·b + c = 19 | * 4

Dann hast du noch 2 Gleichungen mit
2 Unbekannten.
Diese werden nach dem gleichen Schema
gelöst.

von 88 k

Hallo Georg,

ich habe dich schon einmal darauf aufmerksam gemacht, dass man bei solchen LGS immer ohne jedes Multiplizieren direkt c eliminieren kann, wenn man z.B.

II - I   und   III - II rechnet

Hallo Georg,

vielen Dank! Ich habe den Fehler auch gefunden, aber jetzt muss ich noch ein bisschen weiter üben. Dass ich diesen Aufgabentyp kann, dachte ich ja schließlich schon einmal :-)

Hallo Georg,
ich habe dich schon einmal darauf aufmerksam gemacht, dass man bei solchen LGS immer ohne jedes Multiplizieren direkt c eliminieren kann, wenn man z.B.
II - I  und  III - II rechnet

Ja, dann mach das doch.

> Ja, dann mach das doch.

Erfreulicherweise haben das ja bereits zwei Kollegen (lange vor dir) erledigt.

Es erstaunt mich sehr, dass du für Hinweise, die es den FS deutlich einfacher machen, neuerdings gar nicht oder sehr seltsam reagierst 

Dein Bestehen auf Schema-F halte ich für kontraproduktiv. In diesem Fall wäre "keine Antwort" die bessere Alternative.

vgl. hier:

https://www.mathelounge.de/524405/gegeben-sind-drei-punkte-stelle-die-funktionsgleichung-dazu

Sehr geehrter Wolfgang,
ich habe jetzt bereits mehrfach versucht
dir folgendes kundzutun :

ich gebe meine Antworten dem Fragesteller
und auf dessem vermuteten Kenntnisstand.

Falls jemand meint in meiner Antwort Fehler
oder vermeintliche Fehler gefunden zu haben
kann er mich gerne darauf hinweisen. Dem gehe
ich nach.

Falls jemand meint dem Fragesteller eine bessere Antwort, eine elegantere oder kürzere Antwort
geben zu können kann er dies auch gern tun.

Soweit meine Einstellungen.

Hallo Wolfgang,

da wir in Niedersachsen jetzt Ferien haben und ich nun etwas mehr Zeit habe, möchte ich Deinen an Georg gerichteten Hinweis kurz kommentieren. Mir fiel nämlich auf, dass  seit Eurem kleinen "Disput" keiner von Euch beiden mehr meine Fragen beantwortet hat. Das ist an sich kein Drama, es ist ja keine Frage unbeantwortet geblieben, aber es fiel mir schon auf.

Du hast natürlich Recht mit Deiner Meinung, dass man (mathematische) Sachverhalte nicht unnötig verkomplizieren soll. Andererseits gibt es wahrscheinlich schon verschiedene Meinungen darüber, wann ein Sachverhalt kompliziert dargestellt ist.

Im konkreten Fall war der Vorschlag vom Großen Löwen, grundsätzlich erst einmal das "c" zu eliminieren, hilfreich und für mich auch der leichteste Lösungsansatz.

Grundsätzlich ist es aber in fast allen Fällen - zumindest bei mir - so, dass sich ein für mich verständlicher Rechenweg aus der Summe der Antworten ergibt. Georgs Antworten tragen oft zum Lösungsverständnis bei, da sie im Regelfall den Rechenweg sehr ausführlich darstellen.

Andererseits sind mir aber auch viele Deiner Antworten sehr hilfreich gewesen und wurden mit in mein "schlaues Heft" aufgenommen, so dass ich hoffe, dass Ihr bald wieder beide antwortet.

Viele Grüße

Kristin

Hallo Kristin,
du liegst mit deiner Vermutung, ich würde dir
keine Fragen mehr beantworten leider
völlig falsch.
Zwischen dieser Frage und deinem heutigen
Kommentar wurden von dir 3 Fragen gestellt.
Alle Fragen wurden von anderen Forumsmitgliedern
recht gut beantwortet.
Wahrscheinlich habe ich deshalb keine
eigene Antwort mehr gegeben und werde
dir auch in Zukunft Antworten geben.

Nehmen wir das Ganze also nicht so ernst.

Zur Erheiterung
Praktischer Tip
Was kann man machen falls man vor einer Flugreise Angst hat im Flugzeug könnte eine Bombe versteckt sein ?
Man nimmt auch eine Bombe mit.
Die Wahrscheinlichkeit das in einem Flugzeug 2 Bomben sind ist nahezu null.

Hallo Georg,

sehr schön, das beruhigt mich :-) (also nicht die zwei Bomben ;-), sondern die Tatsache, dass ich weiterhin mit Deinen Antworten rechnen kann.

Aber der "Bomben-Logik" ist wirklich nichts entgegenzusetzen. Natürlich weiß man nicht, was noch mal kommt ;-)  In Zukunft werde ich wahrscheinlich keinen Flughafen mehr betreten können, ohne an Deine "Zwei-Bomben-Logik" denken zu müssen :-)  :-)

Vielen Dank und viele Grüße

Kristin

Hallo Kristin,

zur Information :
es ist leider oder witzigerweise ein Denkfehler
in der Argumentation.

Man muß allerdings etwas Wahrscheinlichkeits-
rechnung können.

Die Wahrscheinlichkeit für 1 Bombe im
Flugzeug ist angenommen
1 zu 1 Million : 0.000001 =  0.0001 %

Gesamtwahrscheinlichkeit für 2 Bomben
0.000001 * 0.000001 = 0.00000000001
Also geringer.

Hier ist der Denkfehler : die von dir mit-
genommene Bombe hat für dich die Wahrschein-
lichkeit 1. ( trifft also zu - ist wahr )

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist also
0.000001 * 1 = 0.000001

Durch die von dir mitgenommene Bombe
ändert sich also an der Gefahr durch eine
Bombenbedrohung nichts.

Zur Erheiterung :
( wenn die Geschichte nicht wahr ist dann ist
sie gut erfunden )
der dänische Physiker hatte, wie viele seiner Landsleute, ein kleines Ferienhaus. Über der
Eingangstür hing ein Hufeisen als Glücksbringer.

Die ihn besuchenden Kollegen wunderten sich
über das Zeichen bei so einem rational denkenden
Menschen. Bohrs Kommentar :
" Man hätte ihm gesagt es würde auch wirken
auch wenn man nicht dran glaubt."

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