<< wenn ich die matrix in zeilenstufenform bringe
<< kriege ich eine Nullzeile.
<< Das heißt ja Anzahl der Nullzeilen = Dimension des Kerns A also 1
Du machst es dir zu leicht. Allgemein gilt
Rang ( A ) + Dim Kern ( A ) = n = Anzahl Unbekannte = 4 ( 1 )
Du siehst das am Ehesten, wenn du die Matrix quadratisch machst. Da A nur drei Zeilen hat, kann ihr Rang höchstens 3 betragen; um eine vierte Nullzeile magst du sie ergänzen, um sie quadratisch zu kriegen. Diese vierte Zeile zeigt dir praktisch an, dass der Kern mindestens Dimension 1 hat. Schreiben wir mal das homogene LGS an.
x + 2 y - z + 3 w = 0 ( 2a )
2 x - y + 3 z = 0 ( 2b )
x + 7 y - 6 z + 9 w = 0 ( 2c )
Meine Strategie ist jetzt die folgende. Wenn es mir gelingt, durch Null Setzen von w noch eine nicht triviale Lösung zu erhalten und anschließend in einem zweiten Durchgang durch Null Setzen von z , dann bin ich fertig. Dann habe ich nämlich zwei Basisvektoren gefunden. Also schreiben wir erstmal ( 2a-c ) an für w = 0 ; die Nummerierung ( a - c ) behalte ich jetzt immer bei, damit du weißt, welche Gleichungen zusammen gehören.
x + 2 y - z = 0 | : z ( 3a )
2 x - y + 3 z = 0 | : z ( 3b )
x + 7 y - 6 z = 0 | : z ( 3c )
Hier ich bin ja galaktisch genial; in ( 3a-c ) siehst du meinen Spezial Divisionstrick. Indem wir durch z teilen, verringern wir die Anzahl der Unbekannten auf Zwei; und zwei Unbekannte gelten als beherrschbar. Bei einem homogenen LGS geht ja die Linearität beim Dividieren nicht verloren.
Freilich wäre Division durch z verboten, wenn sämtliche nicht trivialen Lösungen z = 0 hätten. Lassen wir uns überraschen. Ich setze noch
X := x / z ; Y := y / z ( 4 )
X + 2 Y = 1 ( 5a )
2 X - Y = ( - 3 ) ( 5b )
X + 7 Y = 6 ( 5c )
Subtraktionsverfahren ( 5c ) - ( 5a ) . um X zu eliminieren
5 Y = 5 ===> Y = 1
( 5abc ) ===> X = ( - 1 )
und damit der geforderte Basisvektor
e1 = ( - 1 | 1 | 1 | 0 ) ( 6 )
Wie gesagt; eine Lösung mit z = 0 wäre in jedem Falle linear unabhängig von ( 6 ) ; in diesem Falle ergäbe ( 2a-c )
x + 2 y + 3 w = 0 | : µ ( 7a )
2 x - y = 0 | : µ ( 7b )
x + 7 y + 9 w = 0 | : µ ( 7c )
Was ist jetzt dieses µ ? Mit Arndt Brünner substituiere ich x := 3 µ Effektiv dividiere ich also durch x . Es ist nur so; bei Arndt spicke ich, wie du den Kernvektor von Vorn herein primitiv kriegst ( Ansonsten hättest du hinterher alles schön auf den Hauptnenner zu bringen. )
https://www.matheretter.de/rechner/lgspro
Y := y / µ ; W := w / µ ( 8 )
Wenn du das jetzt so machst, dann folgt mit ( 7b ) Y = 6 und aus ( 7a;c ) W = ( - 5 ) und somit
e2 = ( 3 | 6 | 0 | - 5 ) ( 9 )
Ich würd also mal behaupten, ( 6;9 ) sind die beiden gesuchten Basisvektoren - Aufgabe gelöst.
Jetzt könnte ich dieses Spielchen ja immer weiter treiben; es wäre nur die Frage, ob du dann noch etwas linear Unabhängiges kriegst. Ich erinnere dich an ( 1 ) ; ich glaube kaum, dass Rang ( A ) = 1 - nur unter dieser Voraussetzung wäre ein dritter Kernvektor in Aussicht.
