Wie löst man folgende Ungleichung?

Question

Ich weiß nicht genau wie ich diese Ungleichung lösen kann. Ich habe erst mal +(3x/4) gemacht und dann -(4/x). Dann habe ich am Ende (2x/4) < (4/x) stehen. Und dann ?

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Fallunterscheidung:

x>0

x<0

und mit x die Gleichung durchmultiplizieren.

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Macht man das mit der Fallunterscheidung immer bei Ungleichungen ?

Ich dachte das macht man nur bei Betragsungleichungen

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Alternative ohne Fallunterscheidung: Für \(x\ne0\) gilt
\(\large\frac{2x}4<\frac4x\Leftrightarrow x^3<8x\Leftrightarrow(x+\sqrt8)\cdot x\cdot(x-\sqrt8)<0\).

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Ich will es mit Fallunterscheidung machen. Jedoch weiß ich grad echt nicht wie ich das mache. Kann mir das jemand von euch vielleicht durchrechnen versuche die Aufgabe jetzt schon seit sehr Langem und es funktioniert einfach nicht.

Answer 1

4/x - x/4 < 8/x - 3·x/4

(16 - x^2)/(4·x) < (32 - 3·x^2)/(4·x)

Fall1: x > 0

16 - x^2 < 32 - 3·x^2

2·x^2 - 16 < 0 --> - 2·√2 < x < 2·√2 --> 0 < x < 2·√2

Fall2: x < 0

16 - x^2 > 32 - 3·x^2

2·x^2 - 16 > 0 --> x < - 2·√2 ∨ x > 2·√2 --> x < - 2·√2

Lösung ist demnach

x < - 2·√2 ∨ 0 < x < 2·√2

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Nach der Idee von nn.

4/x - x/4 < 8/x - 3/4·x 

3/4·x - x/4 < 8/x - 4/x

2/4·x < 4/x

1/2·x < 4/x

x < 8/x

x^3 < 8·x

x^3 - 8·x < 0

x·(x^2 - 8) < 0

(x +√8)·x·(x - √8) < 0

x < - √8 ∨ 0 < x < √8

Answer 2

Fall 1: x>0. Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner 4x:  16-x²<32-3x² also x²<8 und dann 0<x<2√2.

Fall 1: x<0. Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner 4x:  16-x²>32-3x² also x²>8 und dann -∞<x<-2√2.