Wie bilde ich die Stammfunktion von 1/(x+1/x)?

Question

 

leider verzweifle ich gerade am Bilden der Stammfunktion für die obere Gleichung. 

Ich weiß, dass die STammfunktion von 1/x ln(x) ist. Also denke ich, dass da auch was mit ln(...) rauskommt. Allerdings wäre ln(x+1/x) ja falsch. 

Wie komme ich also Schritt für Schritt zur gesuchten Stammfunktion?



Also ich weiß, dass eine Stammfunktion 1/2 ln(y^2+1) ist. Wenn ich es ableite, ist es auch korrekt. Aber wie komme ich denn von der Ableitung darauf? 

Answer 1

Falls die Aufgabe so lautet:

Comments

 

Auf die Idee, alle Summanden mit einem X zu erweitern und erst dann zu substituieren bin ich nicht gekommen.

Answer 2

1 / (1+1/x)  = 1 / [ (x² + 1) / x ]  =_x≠0  x / (1+x² )

∫ u' / u  = ln(|u|)  

∫  x / (1+x²) dx  = 1/2 · ∫  2x / (1+x²)  dx  = 1/2 · ln(x² + 1) + c  

Gruß Wolfgang

Answer 3

Vereinfache

1/(x + 1/x) = x/(x^2 + 1)

∫ x/(x^2 + 1) dx

Subst.
z = x^2 + 1 
1 dz = 2x dx
dx = 1/(2x) dz

∫ x/z * 1/(2x) dz

∫ 1/z * 1/(2) dz

1/2 * ∫ 1/z dz

1/2 * LN(z) + C

Resubst.

1/2 * LN(x^2 + 1) + C

Answer 4

1.Schritt : Zunächst einmal den Nenner umformen
x + 1/x = ( x^2 + 1 ) / x

2.Schritt : die ganze Funktion neu schreiben
x / ( x^2 + 1 )

3. Wenn im Zähler die Ableitung des Nenners
steht ist eine ln-Funktion im Spiel denn
[ ln ( term ) ] ´  = ( term ´ ) / term

[ ln ( x^2 + 1 ) ] ´ = 2x / ( x^2 + 1 )

Jetzt stört nur noch die 2 als Koeffizient vor dem x.
Diese wird kompensiert durch 1/2.

[ 1/2 * ln ( x^2 + 1 ) ] ´ = 1/2 * 2x / ( x^2 + 1 )
=  x / ( x^2 + 1 )

Da wären wir.

∫ 1 / ( x +1/x ) dx = 1/2 * ln ( x^2 + 1 )

Answer 5

  also diese -form x / ( x ² + 1 ) ; da hast du im Zähler die Ableitung des Nenners ===>  Logaritmus