Matrizen. (A*B)^T = B^T * A^T zeigen für die Matrizen A und B

Question

Folgende Aufgabe muss als Matrix A und B gezeigt werden. Wie mache ich das ?

Comments

Wenn dir eine Antwort weitergeholfen hat, kannst du die Antwort mit einem Stern belohnen.

Du hast das bisher bei keiner von deinen 29 Fragen getan. Daher bestehen Zweifel daran, ob dir die Antworten überhaupt etwas nützen oder ob du hier nur rumtrollst. https://www.mathelounge.de/user/klaus/questions

Answer 1

wie mache ich das?

Ausrechnen nach Schema x.

http://www.mathepedia.de/Multiplikation_Definitionen_und_Operationen.html

http://www.mathepedia.de/Transponierte.html

Comments

Hat jemand eine Idee weiss es wirklich nicht wie ich das machen soll.

---

Kann mir bitte jemand helfen (A*B)T und BT*AT

---

Berechne erst mal AB. (Matrixmultiplikation) Dazu gibt es im ersten Link ein vorgerechnetes Beispiel. Rechne das Beispiel nach und versuche es dann selbst für deine Matrizen A und B.

Du musstest doch gestern schon Matrizen multiplizieren. https://www.mathelounge.de/527081/orthogonale-matrix-zeigen Einfach gleich machen wie dort.

---

Also für AB habe ich

7          5           6

-14      27         10

4         6           8

stimmt das als Matrix. Was müsste man nun tun ?

---

Was müsste man nun tun ?

Dann machst du daraus (AB)^T . D.h. du spiegelst dein Resultat an der Hauptdiagonalen:

7          5          6

-14      27        10

4        6          8

wird zu

7          -14     4

5      27        6

6        10           8

.

stimmt das als Matrix?

Das wirst du selber merken, wenn du die Aufgabe fertig gerechnet hast.

Bestimme nun A^T und 

dann B^T.

Danach rechnest du B^T * A^T .

Wichtig ist, dass du deinen Rechenweg explizit und ausführlich hinschreibst, damit gezeigt ist, dass die fragliche Formel für diese beiden Matrizen korrekt ist.

---

Ich verstehe es nicht wie ich die Rechnung darstellen muss also

Was ist jetzt AT und BT

---

Ich verstehe es nicht wie ich die Rechnung darstellen muss also

Was ist jetzt AT und BT

---

Hallo Klaus,

\(A\) ist

$$A = \begin{pmatrix} 2 & \colorbox{#ff8888}{-1} & \colorbox{#88ffff}{4} \\ 3 & 5 & \colorbox{#ffff88}{0} \\ 0 & 2 & 2\end{pmatrix}$$ das steht oben bereits in der Aufgabestellung. Ich habe drei der Zahlen in der Matrix farblich markiert; warum, das wirst Du gleich sehen. \(A^T\) ist die transponierte Matrix von \(A\). Die sieht so aus:

$$A^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ \colorbox{#ff8888}{-1} &5 & 2 \\ \colorbox{#88ffff}{4} & \colorbox{#ffff88}{0} & 2\end{pmatrix}$$ Du siehst, dass die rot markierte \(-1\) mit der \(3\) den Platz getauscht hat, die blau markierte \(4\) mit der 0 unten links und die gelb markierte \(0\) mit der 2. Oder allgemeiner ausgedrückt: die Matrix wurde an der Diagonalen gespiegelt.

Und mit \(B^T\) geht es genauso. \(B\) ist oben gegeben und \(B^T\) ist die an der Diagonalen gespiegelte Matrix. Dasselbe gilt für \(A \cdot B\) und \((A \cdot B)^T\) - hier muss natürlich zunächst erst das Produkt \(A \cdot B\) berechnet werden und dann kann transponiert, d.h. an der Diagonalen gespiegelt werden.

Gruß Werner

---

Hallo Werner,

Und mit BT geht es genauso. B ist oben gegeben und BT ist die an der Diagonalen gespiegelte Matrix.

Ok. Das habe ich verstanden, wie muss ich A*B und (A*B)T

Dasselbe gilt für A⋅B und (A⋅B)T - hier muss natürlich zunächst erst das Produkt A⋅B berechnet werden und dann kann transponiert, d.h. an der Diagonalen gespiegelt werden. 

---

Hallo Klaus,

überarbeitest Du obigen Kommenatr bitte noch einmal. Er besteht nur aus Fragmenten meines Kommentars und einem anscheinend verstümmelten Satz. Aber ich weiß nicht, was Du uns damit mittteilen möchtest.

---

Wie muss ich das hier machen hab das nicht ganz verstanden wie du es zeigen möchtest

Dasselbe gilt für A⋅B und (A⋅B)T

---

Klaus schrieb: "Wie muss ich das hier machen, hab das nicht ganz verstanden, wie du es zeigen möchtest"

Was verstehst Du unter 'das hier'? Versuche doch bitte konkrete Fragen zu stellen. Ohne 'das' und 'hier' - Was genau verstehst Du nicht?

Klaus schrieb: "Dasselbe gilt für A⋅B und (A⋅B)T" das ist korrekt. Man kann JEDE Matrix transponieren.

---

Nun ich fang mal an. Ich habe BT und AT verstanden aber wie bekomme ich (A*B)T jetzt, weil ich habe ja A und B in der Matrix  als Aufgabenstellung.

---

Hallo Klaus,

weißt Du wie Du zu \(A\cdot B\) kommst? Das ist wieder eine Matrizenmultiplikation! Hast Du Dir die Links angeschaut, die wir Dir schon mehrfach zu diesem Thema empfohlen haben?

Auf meine Bitte an Dich - hier im Kommentar - hast Du nicht mehr reagiert.

---

Ja aber die Matrixmultiplikation ist kompliziert bitte um Hilfe.

---

hast Du denn Dir die Links zur Matrizenmultiplikation einmal angeschaut? Und was genau findest Du daran kompliziert? Nein - Matrizenmultiplikation ist nicht kompliziert!

Ich wiederhole noch mal mein Statement aus diesem Beitrag: Ohne Matrizenmultiplikation hast Du KEINE Chance Aufgaben von der Art, wie Du sie hier vorgestellt hat, zu lösen. Also entweder versuchst Du es noch mal erneut - oder eben nicht!

Was macht Du gerade für eine Ausbildung? Und würdest Du bitte mal auf Fragen antworten!

---

Ja aber die Matrixmultiplikation ist kompliziert bitte um Hilfe verstehe es einfach nicht ausbildung zum Kaufmann

---

Hallo Klaus,

wenn Du eine Ausbildung zum Kaufmann machst, so musst Du auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm umgehen können. Ist das richtig? Falls Ja - welches Programm benutzt Du (Excel, Office Calc, ...)?

Damit kann ich Dir dann auch Matrizenmultiplikation zeigen!

---

Excel Werner

---

Ok - dann solltest Du wissen, was hier zu sehen ist:

Links habe ich die Matrix \(A\) und oben rechts die Matrix \(B\) in Excel eingegeben. Rechts von \(A\) und unterhalb von \(B\) kann man nun das Ergebnis von \(A\cdot B\) berechnen. Oben in der Zeile siehst Du die Formel, die ich für das erste Element der Ergebnismatrix eingegeben habe. Wo welcher Wert herkommt ist farblich markiert. Das Ergebis für dieses erste Element ist \(7\) (auf dem Bild nicht sichtbar!). Und die berechnet sich:

$$2 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-1) + 4\cdot 3 = 7$$

.. bis hierhin noch Fragen?

(an alle anderen: Ja ich kenne natürlich MMULT - aber das ist hier nicht angesagt!)

---

Ich habe bei der Matrix folgende lösung bei den hinteren letzten zwei ziffern.

7     5   6

-14 27  10

4   6      8

---

Also  nicht -10 10 und 0

---

Nun - die letzte Spalte berechnet sich zu: $$ \begin{aligned} 2 &\cdot 0 + (-1) &\cdot 2 + 4 &\cdot (-2) &= -10 \\ 3 &\cdot 0 + 5 &\cdot 2 + 0 &\cdot (-2) &= 10 \\ 0 &\cdot 0 + 2 &\cdot 2 + 2 &\cdot (-2) &= 0 \end{aligned}$$ .. kontrolliere noch mal Deine Eingabe.

---

Ok. Ich schaue mal

---

Kontrolliere mal die Zahl in der untersten Zeile und rechten Spalte von \(B\). Dort steht bei Dir wahrscheinlich eine \(2\), Richtig wäre aber eine \(-2\).

---

Wie bist du auf -14 gekommen hab

2*(-1)+(-1)*(-1)+4*3 gerechnet und bekomme als Ergebis 14 und nicht -14

---

Achso okay hab das prinzip jetzt verstanden man muss eine spalte bei der a runter gehen ok

---

Die \(-14\) berechnet sich aus der zweiten Zeile von \(A\) und der ersten Spalte von \(B\), da dieses Element in der zweiten Zeile und der ersten Spalte der Ergebnis-Matrix steht. So sieht das aus: