Will ich doch mal den Spieß umdrehen und richtig schön akademisch beweisen, dass deine beiden Funktionen eine Basis von W bilden.
Aber fangen wir vorne an; du beschreibst eine Mannigfaltigkeit von Polynomen vom Grade n < 3
p ( x ; e ; d ; c ) := e x ² + d x + c ( 1 )
durch die Nebenbedingung
(E) a | e a ² + d a + c = 0 ( 2 )
Diese Mannigfaltigkeit wollen wir W = W ( a ) nennen; Behauptung: W ( a ) ist Vektorraum. Drei Dinge sind zu zeigen
1) Das Nullpolynom befriedigt ( 2 )
2) Homogenität; ist ( 1 ) eine Lösung von ( 2 ) , so auch p_k ( x ) := k p ( x )
3) Additivität: Mit p1 und p2 ist auch ( p1 + p2 ) Lösung.
Jetzt führst du zwei Basisfunktionen ein.
b1 ( x ) : e1 = 0 ; d1 = 1 ; c1 = - a ( 3a )
b2 ( x ) := e2 = 1 ; d2 = 0 ; c2 = - a ² ( 3b )
Unser Unterricht in -frankfurt war ja Spitze; aber mit dem Begriff Basis machten unsere Assistenten doch ganz schön Larifari. Weil die Info aus Wiki fand ich so toll, dass ich euch empfehle, das auswändig zu lernen:
SATZ und DEFINITION ( Basis )
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Ein Vektorensystem heißt Basis, wenn es eine der vier äquivalenten Eigenschaften erfüllt
1) eindeutig Erzeugendes
2) minimales "
3) linear unabhängiges "
4) maximal " "
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Alle Beweise und Erläuterungen in Wiki. In Frankfurt haben sie unsere Aufmerksamkeit auf folgende Verständnisfrage gelenkt; bilden alle ( überabzählbar vielen ! ) Vektoren des |R ³ zusammen ein Erzeugendes ? Ja. Denn stets besteht eine Linearkombination ( LK ) aus einer ENDLICHEN Summe; so etwas wie unendliche Reihen, Taylor-oder Fourierrreihen ist NICHT zugelassen - ein weit verbreitetes Missverständnis. Wieder mal so eine typische Paradoxie; der Werkzeugkasten darf durchaus unendlich viele Elemente enthalten. Allein deine konkrete Auswahl hat sich auf endlich viele zu beschränken.
Was mir doch später sehr geholfen hat; was haben sie uns gedrillt. In obigem Teorem steht, eine Basis sei ein Erzeugendes. WAS ist bei Erzeugendem zu zeigen? Beide Richtungen; die lineare Hülle der Vektoren b1 und b2 liegt in W , ist Unteraum von W . Und dann die Umkehrung: Jedes Polynom aus W lässt sich schreiben als LK von b1 und b2 .
Die erste Richtung ist trivial; du musst nur an Hand von ( 2 ) nachprüfen, dass ( 3ab ) selber Elemente von W sind. Wegen der Vektorraumeigenschaft von W folgt diese Aussage dann auch für jede LK .
Mit der Umkehrung tun wir uns etwas schwer; es reicht ja voll aus, dass mir der liebe Gott die richtige Lösung gesagt hat. Für Polynom ( 1 ) musst du setzen
p ( x ) = d b1 + e b2 = ( 4a )
= e x ² + d x - e a ² - d a ( 4b )
Koeffizientenvergleich ( KV ) mit ( 1 ) ergibt
c = - ( da + e a ² ) ( 4c )
in Übereinstimmung mit ( 2 ) wzbw .
An sich müssten wir uns beim Beweis von Basis nur für einen der vier Unterpunkte entscheiden; ich will aber alle vier vorführen, um einmal zu zeigen, wie sich die Betrachtungsweise ändert.
Was wir bis Jetzt gezeigt haben, ist Erzeugendes. Wir sahen schon; ein Erzeugendes kann sehr aufgeplustert sein; und daher rührt die Uneindeutigkeit. So könnte ich beispielsweise den Nullvektor schreiben als 1 * 0 oder alternativ as ( x + y ) - x - y Unter Punkt 1 steht, wenn ich das Erzeugende so weit abspecke, " herunter breche " , wie das Neudeutsch heißt, dass die Darstellung eindeutig wird, kommen wir zu einer Basis; die Behauptung
ß1 b1 + ß2 b2 = µ1 b1 + µ2 b2 ===> ß1;2 = µ1;2 ( 5a )
ß2 x ² + ß1 x - a ( ß1 + ß2 a ) = µ2 x ² + µ1 x - a ( µ1 + µ2 a ) ( 5b )
( ß2 - µ2 ) x ² + ( ß1 - µ1 ) x + a [ µ1 - ß1 + a ( µ2 - ß2 ) ] = 0 ( 5c )
KV der beiden x ² - Terme lehrt , dass ß2 = µ2 ; entsprechend für den linearen Term.
In Punkt 2) war die Rede von Minimalität ( Erzeugendes brauchen wir ja nicht mehr nachweisen. ) Minimalität und Minimalität ist aber zweierlei; stell dir vor in einer Ebene E im |R ³ liegen die 4 710 Vektoren
e1 ; ... ; e_4 710 € E ( 6 )
und e_4711 möge senkrecht stehen auf E . Zweifel los bilden diese 4 711 Vektoren ein Erzeugendes des |R ³ ; sie tun es auch noch, wenn du e1 heraus nimmst. Aber nicht mehr, wenn du e_4 711 weg nimmst. Offenbar sind manche Vektoren wesentlich, andere nich. Atber unser System war ja gar nicht minimal; es stellte sich heraus, dass du einzelne Vektoren heraus nehmen konntest. Bei einer Basis kann das genau nicht passieren;
der Beweis ihrer Minimalität geht genau so, dass du einen beliebigen Vektor weg nimmst; und die restlichen sind nicht mehr im Stande, den fehlenden aufzuspannen.
Da wir aber noch nicht wissen, ob ( 3ab ) tatsächlich eine Basis ist, müssen wir nacheinander beide Basispolynome heraus nehmen. Da aber einerseits gilt e2 = 1 , d2 = 0 und andererseits e1 = 0 , d1 = 1 , können diese Vektoren nicht linear abhängig sein . Dieser Beweis erweist sich als überraschend einfach.
In Punkt 3) war die Rede von linearer Unabhängigkeit. Diese Argumentation wird in der Tat nicht so kompliziert wie oben ( 5a )
ß1 b1 + ß2 b2 = 0 ====> ß1;2 = 0 ( 7a )
ß2 x ² + ß1 x - a ( ß1 + a ß2 ) = 0 ( 7b )
und daraus die Behauptung.
Punkt 4 bringt uns ümrigens nichts wesentlich Neues ; die Forderung der maximalen linearen Unabhängigkeit besagt doch nur, dass ab Jetzt jedes Polynom ( 1 ) erzeugt wird von den Basispolynomen - und das hatten wir schon.
