Niveaulinien ausrechnen und skizzieren

Question

Bestimme und Skizziere die Niveaulinien:

a.) $$f(x,y)\quad =\quad -x²+4y-y²-6y$$

$$c=-3, c=14, c=13$$

b.) $$f(x,y)\quad =\quad \sqrt { \frac { x² }{ y+1 } }$$

$$c = 1, c=-2, c=0$$

zu a.)

$$-x²-2y-y² = c$$

$$-x²-c = +2y+y² = (1+y)²-1$$

$$y=\sqrt { 1-x²-c } -1$$

Hier krieg ich dann probleme, für c = 14, oder c=13, weil in der Wurzel etwas negatives steht. Wie soll das gehn ?

zu b.)

$$\sqrt { \frac { x² }{ y+1 } }=c$$

$$y=\frac { x² }{ c² } -1$$

Hier ist auch das Problem. ich soll die Niveaulinie für c=0 zeichnen. c steht aber im Nenner.

Hilfe.

Answer 1

a)

-x² + 4y - y² - 6y = c

Vermutlich sollte in der Aufgabe eher 4x statt 4y stehen.

-x² + 4x - y² - 6y = c

Bringe es auf die Kreisgleichung

x² - 4x + y² + 6y = - c

x² - 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 13 - c

(x - 2)² + (y + 3)² = √(13 - c)²

Es ist ein Kreis um M(2 | -3) mit dem Radius √(13 - c)

Comments

x²/(y + 1) = c²

Niveaulinie für c = 0 ist die y-Achse. Dort ist x = 0 und y beliebig.

Für c ≠ 0 gilt dann:

y = x²/c² - 1

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Danke, daran hab ich nich gedacht, is natürlich logisch.

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Ich glaube du hast recht, danke.

Answer 2

> ... weil in der Wurzel etwas negatives steht ...

... liegen c=13 und c=14 nicht im Wertebereich der Funktion. Die Niveaulinien existieren nicht.

> ich soll die Niveaulinie für c=0 zeichnen. c steht aber im Nenner.

Dann hättest du überhaupt nicht durch c² teilen dürfen. Für c=1 und für c=-2 ist dein Rechenweg korrekt. Aber in der Division duch c², die du ausgeführt hast, liegt schon die Annahme, dass c² ≠ 0 ist. Denn Fall c=0 musst du anders lösen.

Comments

>  Die Niveaulinien existieren nicht.

Für c=13 ist es wohl der Punkt  (2|-3)

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-2²+4·(-3) - (-3)² - 6·(-3) = -7

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"Für c=13 ist es wohl der Punkt  (2|-3)"

Je nachdem wie die Funktion richtig lautet.

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-22+4·(-3) - (-3)2 - 6·(-3) = -7

Hier ist doch wohl x=2 gemeint, aber wenn man den offensichtlichen Tippfehler in der Aufgabenstellung ernstnimmt, hast du natürlich recht.

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Das Problem, das Kathreena geschildert hat, ist mit der Funktion

        f(x,y) = -x² - 4y - y² - 6y

entstanden. Da gibt's nichts dran herumzudeuten.

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Sorry, aber mir ist gerade danach :-):

> Da gibt's nichts dran herumzudeuten.

f(x,y) = -x²  +  4y - y² - 6y

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Da 2 Niveaulinien sosnt nicht existieren würden, muss da wohl ein fehler in der Angabe sein. Kann ich frühestens Dienstags sagen. Ist ein Übungsblatt von der Uni, das stand da so oben.

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Wie gesagt ist das ein offensichtlicher Schreibfehler. Kein Mathematiker, der seine 7 Sinne beisammen hat würde + 4y und - 4y in einem Term verwenden ohne es zusammenzufassen.

Das ist ein ebenso offensichtlicher Schreibfehler wie du jetzt - 4y geschrieben hast.