0 Daumen
1,7k Aufrufe

ich brauche bei einer Aufgabe Hilfe.

 

Für a∈ℕ Quadrat-frei betrachtet man die Menge

ℚ[√a]* := {x+y√a: x,y∈ℚ} - {0}.

Zeigen Sie, dass ℚ[√a]* mit der Verknüpfung

(x1+y1√a)*(x2+y2√a) = x1x2+y1y2a+ (x1y2+x2y1)√a

eine Gruppe bildet.

 

Die Assoziativität habe ich schon gezeigt, aber bei dem neutralen und inversen Element habe ich Probleme. Wie zeigt man die?

Danke

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen

Wenn du etwas hast, das stimmt, ist die Existenz bewiesen.

Ich nehme mal das Resultat von deinem Kommilitonen und schreibe Wa für Wurzel aus a.

Und nehme an, dass für ein beliebiges Element dieser Menge z= s+tWa ein Inverses z-1 = u+vWa existiert.

So gilt

(s+tWa)(u+vWa) = 1 + 0Wa                  |Nun rechne ich u+vWa aus.

u und v sind rationale Zahlen, da sie aus solchen aufgebaut sind.

Nun kannst du, das Inverse einsetzen und hoffen dass sowohl z*z-1 als auch z-1*z das neutrale Element ergeben.

Anhang: Latex-Text der Formeleingabe:

(s+tWa)(u+vWa)=1+0Wa\\ u+vWa\quad =\quad \frac { 1 }{ s+tWa } \\ u+vWa\quad =\quad \frac { 1 }{ s+tWa } \frac { s-tWa }{ s-tWa } \\ =\frac { s-tWa }{ s{ \quad  }^{ 2 }-t{ \quad  }^{ 2 }a } \\ \\ =\frac { s }{ s{ \quad  }^{ 2 }-t{ \quad  }^{ 2 }a } +\frac { (-t) }{ s{ \quad  }^{ 2 }-t{ \quad  }^{ 2 }a } Wa\\ \\ u=\frac { s }{ s{ \quad  }^{ 2 }-t{ \quad  }^{ 2 }a } \quad und\quad v=\frac { (-t) }{ s{ \quad  }^{ 2 }-t{ \quad  }^{ 2 }a } \\ 

Avatar von 162 k 🚀
Du musst hier sicher noch ergänzen, weshalb im Nenner nicht 0 stehen kann.

Dazu Folgendes:

Nach Voraussetzung ist s oder t  ungleich 0. Wenn nur s oder nur t nicht 0 sind, ist der Nenner nicht Null.

Bleibt s≠0 und t≠0:

Beweis durch Widerspruch:

Annahme s^2 = t^2 a.

Da a quadratfrei ist, führt jede Primfaktorzerlegung (selbst als Bruch) von s^2 und t^2 a bei t^2 a zu mindestens einer ungeraden Potenz einer Primzahl, was bei s^2 nicht möglich ist.

Somit ist die Annahme s^2 = t^2 a falsch und der nenner tatsächlich nie 0.

Jetzt fehlt tatsächlich nur noch die Ausmultiplikation der Terme. vgl. oben.
0 Daumen

Grüße vom Kommilitonen:

Du verknüpfst halt stur mit (x1+y1*Wurzel(a))x(x2+y2Wurzel(a))=(x1+y1*Wurzel(a)), wenn (x2+y2Wurzel(a)) kriegst dann eine Gleichung die du in 2 aufteilen kannst(einmal für den x-Wert und für den y-Wert).
Wenn du e dadurch hast kannste das nochmal probieren, aber ich schätze, dass es kein inverses Element gibt.

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community