Neutrales Element Gruppenhomomorphismus

Question

es geht um folgende Eigenschaft, die hier bewiesen wird.

$$\text{Es seien }(G,*)\text{ und }(H,\circ)\text{ Gruppen. und es sei }\varphi:G\rightarrow H\text{ ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt }\\\varphi(e_G)=e_H$$

Jetzt der Beweis (nicht meiner)

Beweis.

$$\text{Um die erste Gleichung zu erhalten, vermerken wir zunächst für das Bild}\\ \text{des neutralen Elements von G:}\\\varphi(e_G)=\varphi(e_G*e_G)=\varphi(e_G)\circ\varphi(e_G).\\ \text{Multiplikation dieser Gleichung mit }\varphi(e_G)^{-1}\text{ ergibt }e_H=\varphi(e_G).$$

Warum?!

Der restliche Beweis ist widerum klar, nur finde ich diesen Teil des Beweises aus meiner Sicht ziemlich an den Haaren herbei gezogen, da mir nicht klar ist, warum mit einer Multiplikation mit dem Inversen von φ(e_G) jetzt ausgerechnet e_H ergeben soll.

Restlicher Teil vom Beweis.

$$\varphi(g^{-1})\circ\varphi(g)=\varphi(g^{-1}*g)=\varphi(e_G)=e_H$$

Ich bitte um Aufklärung.

Gruß

hallo97

Comments

Ich habe weiterhin drüber nachgedacht und folgende Version bekommen können.

$$\text{Es seien }(G,*)\text{ und }(H,\circ)\text{ Gruppen. und es sei }\varphi:G\rightarrow H\text{ ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt }\\\varphi(e_G)=e_H$$

Beweis.

$$\text{Seien }(G,*)\text{ und }(H,\circ)\text{ Gruppen und sei }\varphi:G\rightarrow H\text{ ein}\\ \text{Gruppenhomomorphismus.}\\ \text{Dann ist zunächst das Bild vom neutralen Element }\\e_G\in G\text{ unter der Abbildung }\varphi \text{ dann }\\ \varphi(e_G)=\varphi(e_G*e_G)\stackrel{Def. G.H,}{=}\varphi(e_G)\circ\varphi(e_G)\in H.\\ \text{Eine Verknüpfung dieser Gleichung mit }\varphi(e_G)^{-1}\in H\text{ von Rechts ergibt:}\\e_H=\varphi(e_G)\circ\varphi(e_G)^{-1}=\varphi(e_G*e_G)\circ\varphi(e_G)^{-1}\\\stackrel{Def:G.H:}{=}\Big(\varphi(e_G)\circ \varphi(e_G)\Big)\circ \varphi(e_G)^{-1}=\varphi(e_G)\circ \Big( \varphi(e_G)\circ \varphi(e_G)^{-1}\Big)\\=\varphi(e_G)\circ e_H=\varphi(e_G).\\ \text{Dann ist also mit }g,g^{-1}\in G\\e_H=\varphi(e_G)=\varphi(g^{-1}*g)=\varphi(g^{-1})\circ\varphi(g).$$

Answer 1

Es ging dir doch darum:

$$\\\varphi(e_G)=\varphi(e_G*e_G)=\varphi(e_G)\circ\varphi(e_G).\\ \text{Multiplikation dieser Gleichung mit }\varphi(e_G)^{-1}\text{ ergibt }e_H=\varphi(e_G).$$

Dazu meine ich:

a) In jeder Gruppe gibt es zu jedem Element ein Inverses, also auch zu φ(e_G) und das ist dann  φ(eG)^-1

b)  Wenn man ein Element mit seinem Inversen verknüpft kommt das neutrale Element der Gruppe

raus, also gibt      φ(eG) o  φ(eG)^-1 = e_H .

Comments

Genau, wie du es schilderst dachte ich mir das auch. Aber warum soll das hier durch ,,Muktiplikation" passieren?

So ein Verknüpfungssymbol kommt im dortigem Beweis nicht vor, wird aber dennoch erwähnt, was den Bweis meiner Ansicht nach ziemlich verwirrend macht.

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Besser wäre sicher:

" mit der auf H definierten Verknüpfung verknüpft"

statt "multipliziert".

Hört sich allerdings etwas gestochen an.

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mit der auf H definierten Verknüpfung verknüpft

Das wäre hier besser, da es hier ja keine weiteren Verknüpfungen gibt.