Grenzverhalten einer rationalen Funktion für x gegen +/- unendlich

Question

ich brauche Hilfe beim Bestimmen des Grenzverhaltens einer Bruchfunktion. Wie gehe ich da am besten vor? Und auf welche Zahlen muss man schauen (zum Beispiel das x mit dem höchsten Exponent)?

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand die Vorgehensweise anhand eines Beispiels aus dieser Aufgabe erklären könnte.

Answer 1

Hi,

als erstes solltest Du schauen, was der Zählergrad und der Nennergrad ist. Dafür nimm die höchste Potenz von jeweils Zähler und Nenner.

Bei der a) ist Zählergrad = Nennergrad und je 1. Hier kannst Du direkt die Koeffizienten anschauen und den Grenzwert mit 3/6 = 1/2 angeben.

Bei der b) ist Zählergrad < Nennergrad und 1 < 2. Hier kannst Du den Grenzwert direkt mit 0 angeben.

Bei der c) ist Zählergrad > Nennergrad und 2 > 1. Hier kannst Du den Grenzwert für x->∞ direkt mit ∞ angeben. Für x->-∞ haben wir den Grenzwert -∞ (Achte auf das Vorzeichen der beiden höchsten Potenzen. Ist das unterschiedlich, haben wir -∞ (für x->∞)).

Bei der d) musst Du wissen, dass die e-Funktion stets "stärker" ist, als jedes Polynom. Damit haben wir letztlich den Fall "Zählergrad < Nennergrad" und der Grenzwert kann mit 0 angegeben werden (für x->∞). Für x->-∞ strebt das Ganze gegen -∞.

Alles klar?

Grüße

Answer 2

Die Fälle müssen alle seperat betrachtet werden

f = ( 3*x + 2 ) / ( 6 * x-4 )
Geht x gegen +/- unendlich spielen die Summanden
+2 und - 4 keine Rolle mehr. Der Ausdruck
reduziert sich zu
(3*x ) / ( 6 * x )
das x kürzen
3 / 6 = 0.5

Comments

f = (3 * x + 2 ) / (6*x^2 - 4)
( 3 * x ) / ( 6 * x^2 )
3 / ( 6 * x )
gegen +/- unendlich
0

---

f = (3 * x^2 + 2 ) / (6*x - 4)
( 3 * x^2 ) / ( 6 * x )
3 * x / 6
0.5 * x
lim x −> +/- ∞ [ 0.5 * x ] = +/- ∞

d.)
f = ( 6 * x^3 + 3 ) / e^x
lim x −> + ∞ [ ( 6 * x^3 + 3 ) / e^x ] =
die e-Funktion ist größer unendlich
als die Potenzfunktion im Zähler
= 0

lim x −> - ∞ [ ( 6 * x^3 + 3 ) / e^x ] = - ∞ / ( 0 )+
= - ∞

Answer 3

Bei a), b) und c) ist der Funktionsterm der Quotient zweier Polynome. In solchen Fällen gilt: Grad des Zählerpolynoms größer als Grad des Nennerpolynoms: Funktionswerte gegen ±∞. Grad des Zählerpolynoms kleiner als Grad des Nennerpolynoms: Funktionswerte gegen 0. Grad des Zählerpolynoms gleich Grad des Nennerpolynoms: Quotient der Vorzahlen der höchsten Potenz ist Grenzwert.