Gruppentheorie: Inverses Element nachweisen

Question

Die Aufgabe lautet: Es sei (G, ○) eine Gruppe mit neutralem Element e. Ferner seien a, b ∈ G zwei beliebige Elemente von G. a) Zeigen Sie, dass das inverse Element zu a eindeutig bestimmt ist.

Nur wie beweise ich jetzt, dass das inverse Element zu a eindeutig bestimmt ist? Im Internet habe ich leider nur Beispiele gefunden, wo von zwei inversen Elementen eines Elements (z. B. y und y' als inverse Elemente von x) ausgegangen wird. In diesem Fall soll ja nur ein inverses Element, nämlich a' als inverses Element von a, nachgewiesen werden.

:)

Answer 1

damit beweist du doch die Eindeutigkeit? Die Gruppenaxiome forden die Existenz mindestens eines Inversen.

Sei a ∈ G und a' ein inverses Element. Sei a'' auch ein inverses Element von a, dann gilt

a' = a' e = a' (a a'') = (a' a) a'' = e a'' = a''

Also haben wir doch gesehen: je zwei inverse Elemente von a stimmen überein. Daraus folgt aber, dass das Inverse von a eindeutig bestimmt ist.

Comments

Danke für die präzise Antwort! Damit ist es mir schon etwas klarer geworden.

Grüße :)