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Kann mir jmd. helfen ich verstehe das einfach nicht...


Aufgabe:

(L-L2) /10 = L / √ ( 20² - L² )
und
L2/10 =L / √ ( 30² - L² )

gesucht wird L



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Ist L2 bekannt oder soll das L^2 sein?

Hallo TR,

nein L2 ist nicht bekannt. (Soll nicht L hoch zwei sein)

Vermutlich L_(2), also eine zweite Variable ;).

Falls Du nur an der Lösung interessiert bist: außer der offensichtlichen Lösung von \(L_a=0\) gibt es noch die beiden Lösungen \(L_{b,c}=\pm 12,3119\)

Vielen dank schon einmal, nein ich würde es gerne verstehen wollen und selbst nachrechnen. wie kommt man auf die ±12,3119

Verrat den Lesern doch mal den Hintergrund des Gleichungssystems!

3 Antworten

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Beste Antwort

(L-L2) /10 = L / √ ( 20² - L² )
und
L2/10 =L / √ ( 30² - L² )

L/10 - L2 /10 = L / √ ( 20² - L² )
und
L2/10 =L / √ ( 30² - L² )
-------------------------------------         (I) + (II)

L/10 = L/ √ ( 20² - L² ) + L/√ ( 30² - L² )           (III)

Hier hast du nur noch eine Unbekannte!

1. Lösung L = 0.

Falls L ≠ 0. Gleichung (III)  durch 0 dividieren.

1/10 = 1/ √ ( 20² - L² ) + 1/√ ( 30² - L² )          | * 10 √ (( 20² - L² ) ( 30² - L² ) )

√ (( 20² - L² ) ( 30² - L² ) ) = 10 √ ( 30² - L² ) + 10 √ ( 20² - L² ) 

Jetzt kannst du mit 2 mal quadrieren die Wurzeln wegbringen. Beachte: Binomische Formel rechts.

Kontrolle mit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=√((+20²+-+L²+)+(+30²+-+L²+)+)+%3D+10+√+(+30²+-+L²+)+%2B+10+√+(+20²+-+L²+) Skärmavbild 2018-03-28 kl. 13.00.18.png

Ausserdem die erste Lösung L=0 nicht vergessen.

Avatar von 162 k 🚀

Vielen Dank für die schnelle Hilfe

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Vielleicht beide nach L2 auflösen und dann gleichsetzen. So hätte ich das probiert.

Ich kann die Lösung bei ca. L ≈ ± 12.3118572377867 bestätigen.

Ohne CAS ist das aber dank der Wurzeln etwas unbequem zu lösen.

Avatar von 477 k 🚀

Vielen Dank für die schnelle Hilfe

+1 Daumen

Die zweite Gleichung - also das \(L_2/10\) kann man direkt in die erste einsetzen:

$$\frac{L}{10} - \frac{L}{\sqrt{30^2 - L^2}} = \frac{L}{\sqrt{20^2-L^2}}$$ erste Lösung \(L_a=0\). Exklusiv dieser Lösung lässt sich durch \(L\) teilen $$\frac{1}{10} - \frac{1}{\sqrt{30^2 - L^2}} = \frac{1}{\sqrt{20^2-L^2}}$$ $$\frac{1}{10}\sqrt{20^2-L^2}\sqrt{30^2 - L^2} - \sqrt{20^2-L^2} = \sqrt{30^2 - L^2}$$ $$\frac{1}{10}\sqrt{20^2-L^2}\sqrt{30^2 - L^2} = \sqrt{30^2 - L^2} + \sqrt{20^2-L^2}$$ $$\frac{1}{10^2}(20^2-L^2)(30^2 - L^2)  = 30^2 - L^2 + 2\sqrt{30^2 - L^2} \sqrt{20^2-L^2} + 20^2-L^2 $$ $$ \frac{1}{100} L^4 - 11L^2 + 2300 =  2\sqrt{30^2 - L^2} \sqrt{20^2-L^2}$$ $$ \left(\frac{1}{100} L^4 - 11L^2 + 2300 \right)^2=  4(30^2 - L^2)(20^2-L^2)$$ $$\frac{1}{10^4}L^8 - \frac{11}{50}L^6 + 167 L^4 - 50600L^2 + 5290000 \\ \space =  4L^4 -5200L^2 + 1440 000$$ $$\frac{1}{10^4}L^8 - \frac{11}{50}L^6 + 163 L^4 - 45400L^2 + 3850000 =0$$ ab hier kann man dann noch \(L^2=z\) substituieren und danach geht es nummerisch weiter. Man erhält für \(z\) zwei reelle Lösungen, von denenen eine wiederum ausfällt, da sie größer als 400 ist, und somit zu einem negativen Ausdruck unterhalb der Wurzel in der Ausgangsgleichung führt. Es bleibt \(z \approx 151,583\), aus der dann beide Lösungen für \(L\) raus fallen.

Wobei man das ganze gleich nummerisch lösen könnte, also z.B. mit dem Newtonverfahren. Dann spart man sich die Rechnerei und das Risiko, sich zu verrechnen.

Avatar von 48 k

Geht man von folgender Gleichung aus (s.o.):

$$ 0 = \frac{1}{10} - \frac{1}{\sqrt{30^2 - L^2}} - \frac{1}{\sqrt{20^2-L^2}}$$ so kann man bereits abschätzen, dass \(|L|<20\) ist. Wähle ich nun den Algorithmus Regula Falsi, und starte (willkürlich!) mit den Werten \(L_1=1\) und \(L_2=15\), so kommt man in wenigen Schritten zu einer Lösung

blob.png

Vielen Dank für die schnelle Hilfe

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