ich komme einfach nicht auf die Umkehrfunktion von: (1-e^{2x})/(1+e^{2x}).
Bitte mit Erklärung !
Nach Multiplikation mit dem Nenner: y+ye2x=1-e2x. Und dann ye2x+e2x=1-y oder nach Ausklammern von e2x:
e2x=(1-y)/(1+y). Jetzt Logarithmieren 2x=ln[(1-y)/(1+y)]. Durch 2 dividieren sowie x und y vertauschen.
y= (1-e^{2x})/(1+e^{2x})
y+e^{2x}*y= 1-e^{2x}
e^{2x}y+e^{2x} = 1-y
e^{2x}*(y+1) = 1-y
e^{2x} =(1-y)/(y+1)
2x = ln((1-y)/(y+1))
x= ...
Vertausche dann x und y
Es gilt: lnx/2 = 1/2*ln x = ln x^{1/2} = ln √x
( 1 - e^{2x} ) / ( 1 + e^{2x} ) = y
1 - e^{2x} = ( 1 + e^{2x} ) * y
1 - e^{2x} = y +y* e^{2x}
1 - y = y* e^{2x} + e^{2x}
1 - y = (y+1)* e^{2x}
(1 - y) / ( 1 + y ) = e^{2x}
ln( (1 - y) / ( 1 + y ) ) = 2x
0,5 * ln( (1 - y) / ( 1 + y ) ) = x
Umkehrfunktion also
f^{-1}(x) = 0,5 * ln( (1 - x) / ( 1 + x ) )
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