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x^2 - 8x = 100

Mir ist in den Sinn gekommen, daraus eine quadratische Gleichung (x^2 - 8x - 100 = 0) zu machen. Doch kann man sie auch anders lösen?

von

Alternativ substituiere z := x - 4 und erhalte z2 = 116.

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daraus eine quadratische Gleichung (x2 - 8x - 100 = 0) zu machen

x2 - 8x = 100 ist bereits eine quadratische Gleichung. Und zwar weil man sie in die Form

        ax2 + bx + c = 0

umformen kann.

Doch kann man sie auch anders lösen?

Idee ist, den Term x2 - 8x so zu ergänzen, dass er mit binomischer Formel zusammengefasst werden kann. Nach dem Zusammenfassen kommt das x nämlich in der Gleichung nur ein einziges mal vor und die Gleichung kann mit den üblichen Gleichungsumformungen gelöst werden.

Macht man das für jede quadratische Gleichung einzeln, dann wird das landläufig "quadratische Ergänzung" genannt. Macht man es ein mal allgemein für die Gleichung x2 + px + q = 0, dann bekommt man die sogenannte pq-Formel, in die man dann nur noch einsetzen braucht.

Ein anderes Verfahren kenne ich nicht.

von 39 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
Idee ist, den Term x2 - 8x so zu ergänzen, dass er mit binomischer Formel zusammengefasst werden kann.

Wie ist er denn genau zu ergänzen?

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Binomische Formel:

        a2 - 2ab + b= (a-b)2

Gegeben:

        x2 - 8x

Wenn man in der binomischen Formel a=x nimmt, dann muss 2ab = 8x und somit 2b=8 sein, also b=4. Der Summand b2 fehlt, muss also hinzugefügt werden:

        x2 - 8x = 100     | + 42

        x2 - 8x + 42 = 116

        (x - 4)2 = 116

+1 Punkt

Hallo.

x^2 - 8x = 100

x^2 - 8x -100=0 ->z.b durch pq-Formel, oder Mitternachtsformel u.a) 

x1.2= 4± √(16+100)

x1.2= 4± √116

x1 ≈ 14.77

x2 ≈ -6.77

von 81 k
+1 Punkt

Ja, das sollte klappen.

Mit der:

PQ-Formel
Quadratische Ergänzung
Mitternachtsformel

von 11 k
+1 Punkt

Lösen z.B. über quadratische Ergänzung

x^2 - 8x = 100

x^2 - 8x + (8/2)^2 = 100 + (8/2)^2

(x - 8/2)^2 = 116

x - 8/2 = ±√116

x = 4 ± √116

x = -6.770329614 ∨ x = 14.77032961

von 274 k
+1 Punkt

Hallo Fatma,

Doch kann man sie auch anders lösen?

Ja, mit quadratischer Ergänzung:

x2 - 8x  = 100

x2 - 8x  + 42 = 100 + 16

   denn die quadratische Ergänzung links ist  4= halber Faktor bei x zum Quadrat

x2 - 8x + 4 = 116   |  links 2. binomische Formel anwenden

(x - 4)2 = 116

x - 4 = ±√116

x  = 4 ± √116

     x ≈  14.77  ;    x2  ≈  - 6.77

Gruß Wolfgang

von 79 k

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