um die Körpereigenschaft deiner Menge Q zu beweisen, die aus Linearkombinationen der Zahlen
1 und
2 mit Koeffizienten in
Q besteht, genügt es zu zeigen, dass jedes Element aus Q multiplikativ invertierbar ist. Alle anderen Körpereigenschaften, wie zum Beispiel die additive Invertierbarkeit, lassen sich auf
Q, also den Körper der rationalen Zahlen, zurückführen.
Für die multiplikative Invertierbarkeit suchen wir für eine beliebige Zahl
U=a+b2∈Q eine Zahl
V=c+d2∈Q, sodass
U⋅V=(a+b2)(c+d2)=1 gilt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei hierbei
b=0. Wir rechnen:
(a+b2)(c+d2)=ac+2bd+(ad+bc)2
und fordern
ac+2bd=1,
bc+ad=0.
Da
b=0, können wir die zweite Gleichung umgestellt in die erste einsetzen und erhalten:
(2b−ba2)d=1.
Daraus folgt d, falls
2b−ba2=0 oder
2b2=a2 gilt. Dies ist aber immer erfüllt, da die Zahl
2 in dem Quadrat einer Zahl nicht als Primfaktor mit ungerader Vielfachheit vorkommen kann.
Daher können wir für jedes Element
U∈Q sein Inverses
V berechnen und die Körpereigenschaften sind erfüllt.
MfG
Mister