Summe einer endlichen Reihe

Question

Wie berechne ich mir die Summer dieser endlichen Folge?

Bsp: 1+4+7+...+25

Answer 1

Hallo Julia,

für eine aritmetische Folge mit Anfangsglied a₁  und Differenz d zwischen den aufeinander folgenden Gliedern erhält man das n-te Folgenglied

a_n = a₁ + (n-1) · d

Bei  0,5 + 1 +  1,5 + ... + 20  ist  a₁ = 0,5  ;  d = 0,5   und a_n = 20

→   20 = 0,5 + (n-1) · 0,5   →  19,5 / 0,5 + 1 = n   →  n = 40

Für die Summe der ersten n Glieder einer solchen Folge gilt

s_n =  n · ( a₁ +  (n-1) · d/2 ) 

Bei dir also   s₄₀  =  40 · (0,5 + 0,25 · 39)  = 410 

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Die Formel von Mathecoach führt bei dieser Aufgabe schneller zum Ziel, weil man das letzte Glied kennt.

Die o.g. Formeln werden aber bei anderen Aufgabenstellungen häufiger benötigt.

Für diesen speziellen Aufgabentyp  kommt man sogar mit der 1. Formel aus, die unmittelbar einsichtig ist.

Hat man nämlich wie oben n= 40 berechnet, kann man die Summe zweimal in umgekehrter Reihenfolge untereinander schreiben

  0,5    +      1      +   1,5     ....   +  19,5    +   20

  20     +   19,5    +  18,5    ...    +     1      +   0,5     und beides addieren:

 20,5    +   20,5    +  20,5   ...    +   20,5   +  20,5

→  2 · s₂₀  =  40 · 20,5  = 820

→       s₂₀  = 410 

Allgemein ergibt das die Formel   s_n =  n/2 · (a₁ + a_n)

 Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank Wolfgang!!

Lg Julia

Answer 2

Indem du die neun Summanden addierst?

Comments

ohh ich war nur verwirrt weil im Buch eine Formel steht und ich nicht wusste was ich mit der machen soll

!!

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ohh ich war nur verwirrt weil im Buch eine Formel steht und ich nicht wusste was ich mit der machen soll

!!

Ja aber wie berechne ich mir dann die Summe von

0,5+1+1,5+...20 da kann ich doch nicht einfach zusammenzählen weil es bei der Schularbeit ja viel zu lange dauern würde oder?

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0,5+1+1,5+...20

= 0,5 + 20 + 1 + 19,5 + 1,5 + 19 + ....

= (0,5 + 20) + (1 + 19,5) + (1,5 + 19) + ....

= 20,5 + 20,5 + 20,5 + ....

Wie oft 20,5 ?

Answer 3

(a + b)·(m + b - a)/(2·m)

1 + 4 + 7 + ... + 25 = (1 + 25)·(3 + 25 - 1)/(2·3) = 117

0,5 + 1 + 1,5 + ... + 20 = (0.5 + 20)·(0.5 + 20 - 0.5)/(2·0.5) = 410