Bestimmen Sie den Rand von M.

Question

Ich verstehe diese Menge nicht so recht.

Also wenn der r =1, dann ist der Radius 0 und wenn er gegen infty strebt, ist der Radius 1. Richtig soweit?

Aber was ist dann das innere? Gibt es überhaupt ein Inneres wenn der Radius am Anfang 0 ist und sich dann immer weiter aufbaut? Und wie kann ich mir dies bildlich vorstellen, ist das entstehende Bild so eine Art Hypnosescheibe? Also der Rand baut sich ja in Kreisbewegung immer mehr auf bis zum Radius 1.

Answer 1

das ist eine Kurve in der Ebene. Sprich, keine Fläche. Da kommen also nicht so viele Punkte in Frage.

Eine Skizze liefert Wolfram:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=ParametricPlot%5B%7B(1-1%2Ft)cos(t),(1-1%2Ft)sin(t)%7D,%7Bt,1,1000%7D%5D

Am einfachsten scheint die Charackterisierung gemäß:

Der Rand einer Menge M besteht genau aus den Punkten, für die gilt, dass jede ihrer Umgebungen sowohl Punkte aus  M als auch Punkte, die nicht in M liegen, enthält. Wikipedia

Das wird schonmal von allen Punkten der Kurve erfüllt.

Du hast auch bereits richtig erkannt, dass es sich am Ende asymptotisch dem Kreis mit Radius 1 annähert. Daher ist dieser auch Teil des Randes,

Answer 2

  Die ===> Topologie unterscheidet innere und äußere Punkte.

   Zu einem inneren Punkt P0  gibt es immer eine ( offene ) Umgebung U ( P0 ) , die ganz in M liegt.

   Zu einem äußeren Punkt P0 gibt es immer eine Umgebung U ( P0 )  , die M nicht schneidet; P0 hat einen positiven Abstand von M .

   Alles was weder innerer noch äußerer Punkt ist, nennen wir Randpunkt.

     Über den Rand einer Menge weiß die Topologie viele schlaue Dinge zu sagen.  Sei   D ( M )  der Rand von M; dann gilt immer 

           D    (   M  )  =  { }       (  1  )

    " Der Rand vom Rand ist leer.  "

   Beispiel;  der Rand der Einheitskugel ist ihre Oberfläche.  Daher kann die Oberfläche einer Kugel keinen Rand haben.

   Besorge dir das Franzbändchen; es fibt auch sonst gute Lehrbücher über Topologie.  Im Gegensatz z.B. zur Analysis wird i der Topologie nie mit Tricks gearbeitet;  es reicht ein naives Vorverständnis von Mengenlehre.   Im Untergeschoss der Matematik residiert die Mengenlehre; das Stockwrk drüber wird gleich von der Topologie belegt.

Comments

  Schreibfehler; ( 1 ) sollte richtig heißen

      D  ²  (  M  )  =  { }