Integral Rechnung für zwei weitere Aufgaben

Question

Ich hatte jetzt gehofft, das Thema Integrale verstanden zu haben, aber unser Lehrer schafft es trotzdem noch :-)

Ich verstehe noch 2 Aufgaben nicht: Einmal diese hier:

Gesucht ist diejenige Stammfunktion F, die an der Stelle a den Funktionswert 0 (-1; 2; 5) hat.

f(x)= x³-4x, a=-3

Und diese hier: Bestimme Wende- und Extrempunkte der Integralfunktion I.

I (Null) von (x); f(t)=t-1

Kann mir nochmal jemand helfen?

Answer 1

f(x)= x³-4x, a=-3
Stammfunktion
F ( x ) = x^4 / 4 - 4 * x^2 / 2
F ( x ) = x^4 / 4 - 2 * x^2
F ( a ) = a^4 / 4 - 2 * a^2

a^4 / 4 - 2 * a^2 = 0
Ersetzen
a^2 = z
z^2 - 2*z = 0
Satz vom Nullprodukt
z * ( z - 2 ) = 0
z = 0
und
z - 2 = 0
z = 2
Rückersetzen
z = a^2 = 0
a = 0
z = a^2 = 2
a = ±√ 2

Weiter Berechnungen
a^4 / 4 - 2 * a^2 = -1
a^4 / 4 - 2 * a^2 = 2
a^4 / 4 - 2 * a^2 = 5

I (Null) von (x); f(t)=t-1
Stimmt das ?
Wo kommt das x vor ?
Bitte den Origilnafragetext oder ein
Foto einstellen.

Comments

Die Aufgabe geht doch anders
f(x)= x³-4x, a=-3
Stammfunktionen
F ( x ) = x^4 / 4 - 2 * x^2  + C

Gesucht ist diejenige Stammfunktion F, die an der
Stelle a den Funktionswert 0 (-1; 2; 5) hat.
F ( -3 ) =  (-3)^4 / 4 - 2 * (-3)^2  + C = 0

81 / 4 - 18 + C = 0
9 / 4 + C = 0
C = - 9 / 4
F ( x ) = x^4 / 4 - 2 * x^2  - 9 /4

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Dankeschön"

Das wäre die Aufgabe dazu.

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Die Aufgabe kann ich leider nicht deuten.

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Da sind wir schön zwei :)

Trotzdem vielen Dank fürs Bemühen !

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Vielleicht hat jemand anders im Forum
eine Antwort.

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$$\int_u^xf(t)\text{d}t$$soll untersucht werden.

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Aber in der Gleichung kommt doch gar kein u vor ???

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Aber in der Gleichung kommt doch gar kein u vor ???

Das u habe ich benutzt, weil ich den Index von \(I_?\) auf deinem Foto nicht entziffern konnte. Ersetze es bei Bedarf, darauf kommt es ohnehin nicht an!

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Folgende Vereinbarung dürfte euch bei der Deutung helfen:

I_a(x) = ∫ (a bis x) f(t) dt

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Die Aufgabe bedeutet dann in der üblichen
Notation

∫ t -1 dt zwischen 0 und x
Stammfunktion
S ( t ) = t^2 / 2 - t
sodann
I ( x ) = [ S ( t )] zwischen 0 und x
I ( x ) = x^2 / 2 - x - ( 0 ^2 / 2 - 0 )
I ( x ) = x^2 / 2 - x

Jetzt eine normale Kurvendiskussion durchführen
I ´( x ) = 2 * x - 1
Stelle mit waagerechter Tangente
2 * x - 1 = 0
x = 1/2
I ´´( x ) = 2
Die Funktion hätte keinen Wendepunkt
mit I ´´ ( x ) = 0

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Ach super.

Ja das wär dann die Lösung, stimmt. Ich konnte einfach nichts mit dieser komischen Angabe anfangen :)

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I ( x ) = x2 / 2 - x

Jetzt eine normale Kurvendiskussion durchführen
I ´( x ) = 2 * x - 1

In der Ableitung ist der Faktor 2 verkehrt. Es sollte gelten

Ia'(x) = f(x)

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Korrektur
Jetzt eine normale Kurvendiskussion durchführen
I ´( x ) = x - 1
Stelle mit waagerechter Tangente
x - 1 = 0
x = 1
I ´´(  x ) = 1
Die Funktion hätte keinen Wendepunkt
mit I ´´ ( x ) = 0

Ich konnte einfach nichts mit dieser
komischen Angabe anfangen :)
Die Notation ist noch aus den 50er Jahren.

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Die Notation ist noch aus den 50er Jahren.

Die steht noch in aktuellen Mathebüchern (z.B. Lambacher Schweizer) nach denen gelehrt wird.

Wobei das im Video etwas schlecht ist. Zum einen wird x als Grenze des Integrals und als Integrationsvariable genutzt. Meist wird es gehandhabt das wenn x eine Integrationsgrenze ist, dass dann als Variable der Funktion t genutzt wird.

Zum anderen wird hier als Integralfunktion groß J statt groß I genommen. Aber letztlich sind das nur Feinheiten.

Answer 2

Eine Stammfunktion von f ist F(x)= 1/4 x⁴ - 2x². Überprüfe das indem du F'(x) bestimmst.

Eine weitere Stammfunktion von f ist F₅(x)= 1/4 x⁴ - 2x² + 5. Überprüfe auch das indem du F₅'(x) bestimmst.

Jede Stammfunktion von f hat die Form F_c(x)= 1/4 x⁴ - 2x² + c, wobei c jede relle Zahl sein darf. In obigen Beispielen ist c = 0 bzw. c = 5.

Bestimme c, so dass F_c(a) = 0 (F_c(a)=-1, F_c(a)=2, F_c(a)=5) ist.