Lokale Extrema: f(x) = x / ln(x^2)

Question

:-)

Ich verstehe folgende Aufgabe nicht:

x / (ln(x^2))

Ich muss jetzt den Extremwert berechnen: Dazu muss ich die 1. Ableitung machen und null setzen.

Laut lösung soll +-e herauskommen. Wie kommt man auf e? Wie muss ich das ausrechnen? Hilfe!

Answer 1

f(x) = x/LN(x^2)

f'(x) = (1·LN(x^2) - x·(2·x)·1/x^2)/LN(x^2)^2

f'(x) = (LN(x^2) - 2)/LN(x^2)^2 = 0

LN(x^2) - 2 = 0

LN(x^2) = 2

x^2 = e^2

x = ± e

Answer 2

Ableitung nach der Quotientenregel: u=x u'=1;v=ln(x²)=2·lnx v'=2/x

Dann ist u'v-uv'=1·2·ln(x)-x·2/x=2lnx-2. Der Nenner ist für die Nullstelle der Ableitung von untergeordneter Bedeutung. Also muss für die Stelle des Extrempunktes 2lnx-2 =0  gelten. Das aber heißt 2ln(x)=2 und lnx=1. Daraus folgt x=e.

Answer 3

du hast die Funktion

$$f(x)=\frac{x}{ln(x^2)}\\f(x)=\frac{x}{2\cdot ln(x)}$$

oder so

~plot~ (x)/(ln(x^2));x=e;x=-e ~plot~

Laut der Quotientenregel ist die Ableitung so:

$$f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}\\u(x)=x\qquad u'(x)=1\\v(x)=2\cdot ln(x)\qquad v'(x)=\frac{2}{x}\\f'(x)=\frac{2\cdot ln(x)-x\cdot \frac{2}{x}}{{(2\cdot ln(x))}^{2}}\\f'(x)=\frac{2\cdot ln(x)-2}{4\cdot ln(x)^2}\\f'(x)=\frac{1}{2\cdot ln(x)}-\frac{1}{2\cdot ln(x)^2}\\notwendige \ Bedingung\\f'(x)=0\\\frac{1}{2\cdot ln(x)}-\frac{1}{2\cdot ln(x)^2}=0\\\frac{1}{2\cdot ln(x)}=\frac{1}{2\cdot ln(x)^2}\qquad\mid \cdot ln(x)^2\\\frac{1}{2}\cdot ln(x)=\frac{1}{2}\\ln(x)=1\\x=e$$

Laut dem Graphen kommt auch -e heraus, aber da weiß ich nicht, wie man das ausrechnet.

Gruß

Smitty

Comments

Laut dem Graphen kommt auch -e heraus, aber da weiß ich nicht, wie man das ausrechnet.

Siehe die anderen Antworten.

Answer 4

  Zunächst mal stelle ich fest, dass deine Fjnktion ungerade Symmetrie zeigt -   wir beschränken uns auf die  halbe Bene x > 0 .    Ferner vereinfacht der Logaritmus die Rechenstufe

     ln  (  x  ²  )  =  2  ln  (  x  )      (  1  )

     An sich hat eine Kurvendiskussion   ( KD )  überhaupt nicht mit Ableitungen zu beginnen  - wir sollten uns vorher überlegen,  wo wir Extrrema erwarten.  Aber ich will mich mal meinen Konkurrenten stellen.

   Ich sage euch immer, die Quotientenregel ist absolut tödlich -  ihr müsst sie meiden wie die Pest. Du siehst ja, im was für ein Gestrüpp du dich da verrennst. Wir machen das jetzt mit ===>  implizitem Differenzieren

       2  y  ln  (  x  )  =  x        (  2a  )

     2  y  '  ln  (  x  )  +  2  y /  x  =  1     (  2b  )

      y  '   setzen wir sang-und klanglos Null als  notwendige Bedingung für Extremum.

         2  y  =  x        (  2c  )

    Vergleich zwischen ( 2a;c )   führt unmittelbar auf ln ( x ) = 1 ===>  x = e .

    Um nun zu entscheiden,  um welche Art von Extremum ( wenn überhaupt )  es sich hier handelt, ist etwas anderes doch viel wichtiger.  Die KD hat zu beginnen mit einer Untersuchung der Asymptotik.   Für x  ====>  (  +  °°  )  geht dein Graf asymptotisch gegen   (  +  °°  )     ; das ergibt sich  unmittelbar aus der Krankenhausregel, auch wenn es aus dem Plot nicht so recht deutlich wird.

   Ferner gilt unser Augenmerk dem Pol bei x0 = 1 .      Apropos; was ist das überhaupt -  eine Polstelle n-ter Ordnung? Bei rationalen Funktionen trauen wir uns das zur Not ja noch zu; aber Logaritmus ist transzendent.

   Eine Funktion y = f ( x ) hat einen n-fachen Pol in x0 , falls die Funktion

      g  (  x  )  :=  f  (  x  )  (  x  -  x0  )  ^  n        (  3a  )

    stetig ist in einer ( offenen ) Umgebung von x0 .  Die Werte von g  folgen ja auch alle  aus ( 3a ) - mit ausnahme von g ( x0 )   Wegen der Stetigkeit können wir aber fest setzen

   g0  :=  g  (  x0  )  :=           lim         g  (  x  )      (  3b  )

                                         x ===>  x0

    g0  <  >  0       (  3c  )

    Unglrichung  ( 3c ) ist wesentlich, sonst könnte n ja nahezu alles sein.

   Die Behauptung:  Dein Graf hat in x0 = 1   einewn einfachen Pol.  wir untersuchen

                               x - 1

      g  (  x  )  =     --------------        (  4  )

                              ln ( x )

    (  4  )  ist aber nichts weiter als der Kehrwert des Differenzenquotienten von Logaritmus an der Stelle x0 = 1 .

    Von rechts nähert  sich die Funktion  dem Pol wieder  nach Plus Unendlich, so dass wir zusammen mit dem Verhalten  im Unendlichen ein Minimum erwarten.