Eigenvektor einer Matrix liegt im Bild der zugehörigen Abbildung

Question

wie zeigt man, dass jeder Eigenvektor einer Matrix A zu einem Eigenwert ungleich Null im Bild der zugehörigen Abbildung $$f_A$$ liegt? $$f_A: K^n \to K^n, x ↦ Ax$$ Es gilt ja $$Ax = \lambda x$$Demnach ist der Eigenvektor ja stets im Bild von Ax, wenn der richtige Wert für Lambda vorliegt. Wie zeigt man dies jedoch?

Answer 1

$$\text{$v$ ist Eigenvektor von $A$}\quad\Longrightarrow\quad\text{Es gibt ein $w$ mit $f_A(w)=v$}$$

Das sollst Du zeigen. Gib dazu ein passendes $w$ einfach an.

Comments

Die Matrix A soll eine beliebige quadratische Matrix sein und ist nicht explizit gegeben. Wie könnte man das im allgemeinen Fall denn zeigen?

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Algebra ist ja so was wie Rechnen mit Buchstaben ...

Praemisse ist: Es gibt ein $v$ und ein $\lambda\ne0$ mit $Av=\lambda v$. Gefolgert werden soll daraus: Die Gleichung $Aw=v$ hat eine Lösung $w$. Damit sind auch schon alle Buchstaben, die in der Rechnung vorkommen koennen, hingeschrieben.