Beweis für x,y ∈ ℝ. ((x+y)/2)^2 ≥ x*y

Question

Beweisen dass für alle reellen Zahlen x,y gilt:

((x+y)/2)² ≥ x*y

 

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im Artikel

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

findest du sicher noch einige Anregungen zu deiner Ungleichung.

Answer 1

((x+y)/2)^2 ≥ x*y
( x + y ) ^2 ≥ 4xy
x^+ 2xy + y^2 ≥ 4xy  | -4xy
x^2 - 2xy + y^2 ≥ 0
( x - y ) ^2 ≥ 0

Ein quadratischer Ausdruck ist immer ≥ 0