Exponentielles Wachstum: Atlantis und Utopia Einwohnerzahlen

Question

Hello,

Die Bevölkerung des Staates Atlantis (50 Mio.) wächst jährlich um 3%, die des Staates Utopia (100 Mio.) wächst jährlich um 1%.

a) Nach wie vielen Jahren hat Atlantis ebenso viele Einwohner wie Utopia?

Ich könnte jetzt Try 'n Error machen, aber kann man das auch irgendwie elegant lösen?

Comments

Gleich viele
a = u
Zahlenbeispiel
50 = 50

Wann hat a doppelt so viel wie u

100  50

jetzt darf man kein Gleichheitszeichen
dazwischen schreiben sondern
100 / 2 = 50
a/2 = u

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Könnte man auch schreiben:

a=u*2

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Jaaaaaaaaaaaa.
a/2 = u  | * 2
a =2u

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Hmm, finde ich irgendwie komisch. Das passiert mir öfter.

Ich denke dann immer, was will ich? Ich will das Atlantis doppelt so groß wie Utopia ist. Daraus folgere ich:

2a=u

Aber das is ja falsch...

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Aber wenn ich nach deinem Zahlenbeispiel gehe macht es mehr Sinn.

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Ich denke dann immer, was will ich? Ich will das Atlantis doppelt so groß wie Utopia ist. Daraus folgere ich:
2a=u

Falsch gefolgert.

Atlantis wäre doppelt so groß wie Utopia bei
a = 2 * u

Answer 1

Atlantis (50 Mio.) wächst jährlich um 3%

a(t) = 50·1,03^t

Utopia (100 Mio.) wächst jährlich um 1%

u(t) = 100·1,01^t

Nach wie vielen Jahren hat Atlantis ebenso viele Einwohner wie Utopia?

Löse die Gleichung a(t) = u(t).

Comments

Wenn jetzt gefragt ist, wie lange es dauert das Atlantis doppelt so viele wie Utopia, was muss man dann machen?
Gleich viele:
a(t)=u(t)
Doppel so viele:
a(t)/2=u(t)
?

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Doppel so viele:
a(t)/2=u(t)

Das ist richtig.

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Nicht andersherum?

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Nein, nicht andersherum. u(t)/2 ist die Hälfte der Einwohner von Utopia.

a(t) = u(t)/2 sagt dann konsequenterweise aus, dass Atlantis die Hälfte der Einwohner von Utopia hat.

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Aber ich will doch wissen, wann Utopia doppelt so viele wie Atlantis hat?

Sollte es dann nicht:

a(t)/2=u(t)

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Wenn du wissen möchtest, "wann Utopia doppelt so viele wie Atlantis hat", dann solltest du nicht fragen, "wie lange es dauert das Atlantis doppelt so viele wie Utopia" hat.

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a(t)/2=u(t)

Wenn ich das hier löse komme ich auf:

70.6987

Stimmt das jetzt oder nicht. Bin gerade leicht verwirrt.

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Stimmt so.

Bin gerade leicht verwirrt.

Könnte daran liegen, dass du ein mal

        Atlantis doppelt so viele wie Utopia

und beim nächsten mal

        Utopia doppelt so viele wie Atlantis

geschrieben hast.

Answer 2

50*1,03^n=100*1,01^n

1,03^n/1,01^n=100/50

(1,03/1,01)^n=2

n*ln(1,03/1,01)=ln(2)

n=ln(2)/ln(1,03/1,01)=35,35a

Comments

Wenn jetzt gefragt ist, wie lange es dauert das Atlantis doppelt so viele wie Utopia, was muss man dann machen?

Gleich viele:

a(t)=u(t)

Doppel so viele:

a(t)/2=u(t)

?

---

0,5*50*1,03^n=100*1,01^n

n*ln(1,03/1,01)=ln(4)

n=ln(4)/ln(1,03/1,01)=70,7a