Wir haben erst mal einen invarianten Unterraum |R ² Dem entspricht eine quadratische Säkulardeterminante 8 SD )
f2 ( x ; A ) = x ² - p x + q ( 1 )
Weil in den Büchern ist das immer so Mega umständlich erklärt. Vieta das geschmähte Stiefkind
p = E1 + E2 = ( - 1 ) + 3 = 2 ( 2a )
q = det ( A ) = E1 E2 = ( - 1 ) * 3 - 4 * ( - 1 ) = 1 ( 2b )
f2 ( x ; A ) = x ² - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ² ( 3 )
Hast du dich schon mal mit ===> Elementarteilern beschäftigt ??? Aber SOFORT nachholen. Dort erfährst du, dass und warum das Minimalpolynom
1) bereits alle Eigenwerte enthält
2) die SD teilt
3) jede Matrix Nullstelle ihrer eigenen SD ist ( trivial, wäre sie diagonalisierbar. Gilt aber auch ganz allgemein. )
In unserem Fall ist der ET ( 3 ) quadratisch. Denn hättest du einen linearen Faktor ( x - 1 ) , müsste die Untermatrix ja gleich der Einheitsmatrix sein - wir haben nur einen Eigenvektor.
Den dritten Eigenwert schnitzen wir uns jetzt aus der Spur; siehe ( 2a )
= ( - 1 ) + 3 + 1 = 3 ===> E3
Sp ( A ) = E1 + E2 + E3 = 1 + 1 + E3 = ( 4a )
= 1 ( 4b )
D.h. das Minimalpolynom, unser ET , ist entweder ( x - 1 ) ² oder ( x - 1 ) ³ ( Denn andere Eigenwerte haben wir ja nicht. ) Wie sieht nun die Matrix A ' := ( A - 1| ) aus?
- 2 4 - 2
A ' := A - 1| = - 1 2 - 1 ( 5 )
0 0 0
Die Matrix ( 5 ) ist ===> nilpotent; wenn du verstehst, wie ET gehen, ist dir das klar. Man sieht sofort, dass ihr Rang Eins ist. Zeile 3 ist die Nullzeile; und Zeile 1 ergibt das Doppelte von Zeile 2 . Nach der Formel
Rang ( A ) + dim Kern ( A ) = n = 3 ( 6 )
ergibt sich hieraus dim Kern ( A ' ) = 2 . Nun ist dieser Kern aber nichts weiter als der Eigenraum von A zum Eigenwert 1 ; hast du das verstanden? Wegen der Nilpotenz von A ' muss der Bildvektor ( nach einmaliger Anwendung von A ' ) breits einer der beiden Kern-bzw. Eigenvektoren sein. Denn sonst ergäbe sich ja der Widerspruch, dass, da dieser Vektor gleichzeitig Bildvektor ist, A ' einen Eigenwert ungleich Null haben könnte. Damit lautet die korrekte Potenz des Minimalpolynoms bzw. ET
p_min ( x ; A ) = ( x - 1 ) ² ( 7 )
